学习目标

1 ．知道迭代法的基本思想，雅可比法与高斯一塞德尔法的区别与联系．

2 ．了解迭代法的收敛性，向量与矩阵的范数及其性质，谱半径．

3 ．掌握雅可比迭代法、高斯一塞德尔的迭代公式和常用收敛充分条件，熟练掌握用它们解方程组．

导 学

    迭代法是解线性方程组的又一重要方法．特别是对一些由数学物理问题导出的特殊方程组，至今仍然主要用迭代法求解．这主要因为迭代法计算程序简单，适合自动计算．另外，迭代法可以充分利用矩阵的稀疏性 ( 0元素多 ) 的特点，对于阶数较高的大型方程组，迭代法计算量通常比直接法更小，而且容易控制误差．因此，迭代法仍然是数值代数的重要研究课题之一．我们在本章 5.1 介绍向量和矩阵范数，谱半径，条件数等概念及性质，为讨论迭代法作必要的准备． 5.2 介绍了雅可比迭代法 ( 亦称同时迭代法 ) ，它是一个重要的基础．而 5.3 介绍了高斯一塞德尔迭代法 ( 亦称逐个迭代法 ) ，它是由雅可比迭代法改进得到的．当系数矩阵为严格对角占优矩阵时，两种迭代法都收敛，而高斯一塞德尔迭代法收敛较快．但在一般情况下，此结论不真，而且还会出现一个方法收敛而另一个方法不收敛的情况．