在实际计算中不可避免的要产生舍人误差，所以就有这样的问题，初始(或某一步)产生的误差在以后计算中是否会无限制地扩大，以致得不到所要求的近似解．这个问题称为稳定性问题．

定义7.1若存在常数c和，使当时，对任意初值有

                                                    (7.21)

则称数值方法稳定．

上述稳定的意义是，对于，数值解连续地依赖于初值．只有稳定的数值方法才是适用的方法．

下面讨论欧拉法的稳定性．

定理7.2若关于y满足李普希兹条件，则欧拉法稳定．

证明  设分别是从初值用欧拉法计算公式(7.4)求得的近似值，则

两式相减得

从而

                                      (7.22)

反复利用式(7.22)得

取，用定义得欧拉法稳定.

上面讨论的稳定性实际是在充分小步长情况下讨论的，然而在实际计算中只能取有限的固定步长，它不可能随意缩小．那么，对固定的步长,初始(或某步)产生的误差，在以后计算中是否会不再扩大，这就是绝对稳定性问题．

定义7.2若对固定步长,对任意的初值有

                                                     (7.23)

数值方法对绝对稳定．

由于绝对稳定性依赖于，全面分析比较困难，所以仅对“试验方程”，

                        ，                        (7.24)

讨论数值方法的绝对稳定性．

    在从复平面上，数值方法对方程(7.24)为绝对稳定的复数从集合，称为此方法的绝对稳定区域．绝对稳定区域越大，方法适应性越大，因而也就越优越．具有有限绝对稳定区域的方法称为条件稳定，否则称为无条件稳定。

例4 讨论欧拉法的绝对稳定性。

解:将欧拉法用于方程(7.24)得

两式相减得

显然，当时有，因此得满足不等式

的从为欧拉法的绝对稳定域，它是以-l为心，以1为半径的圆域，见图2。

                                         图2

下面讨论标准四阶龙格一库塔方法(7.18)的绝对稳定性．将(7.18)用到试验方程(7.24)上，经整理得-

对应的误差方程为

所以，标准四阶龙格一库塔方法(7.18)的绝对稳定区域为

                                  (7.25)

在复平面上这个区域如图7—3所示，可看出当为实数时，它的绝对稳定，闭区间

[－2.78，0]．在图3和表4中给出了各阶龙格一库塔方法的绝对稳定区域及所含实区间．

                                              图3

表4

练习7．3

1．讨论后退欧拉法的整体截断误差及收敛性

2．求出后退欧拉法的绝对稳定区域．

练习题答案

1．提示： 当时， 2．解将后退欧拉法用于实验方程 两式相减得 整理得，当时，则有， 所以后退欧拉法的绝对稳定域为：以为中心，半径为1的圆外区域．