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综 合 例 题

    6.1  轴为水平的均匀圆柱体沿着倾角为a的粗糙斜面下滚(见例题6.1)。已知圆 柱体的质量为m,半径为R,并略去滚动摩擦。试求出圆柱体的运动情形。(1)假设没有滑动。(2)假定有滑动发生,而滑动摩擦系数为m

[]  取坐标系如图,假定在t时刻,质心坐标为(xcR),柱体的转角∠ACC0=j(当质心位于oy轴上的C0点时,半径CAx轴平行)NF分别为约束反力与摩擦力。

(1)滚而不滑的情形。此时,应满足约束条

                    (1)

按方程(6.5.1),得圆柱的运动方程为
             (2)

6.1
解上式,首先由上式第二个方程求得

                                                         (3)
应注意到:上式第一个方程中,不能认为F=mN,因为这个等式仅对接触点无滑动时有效,否则≤mN。因此,在(1)的其余二式中,尚有三个未知量xcjF;此时,必须利用条件(1)方能求解。

(1)式得;再与(2)式中的第一、三两个方程联立。便得

                  (4)

                                                      (5)

(4)式中的第二式看出:圆柱沿斜面下滚时,质心加速度,即小于下滑时的加速度。

由于无滑动时摩擦力F<mN,故由(5)(3)式求得实现纯滚动所必须满足的条件为

                                                          (6)

(2) 且滚且滑的情形。如果条件(6)不满足,则产生滑动,因而(1)式不成立。但是此时的摩擦力应为极大值,即,而运动方程(2)中的一式和二式可写为

因而                                         (7)

这就是说,在目前情况下,质心以加速度ac运动,同时柱体本身以角加速度转动。

积分(7)式,求出为时间t的函数后,若令

uc即为柱体与斜面接触点P的滑动速度,可称为圆柱体的滑动速度,利用(7)式看出

因此,此时条件(6)必不满足,可见,按触点的滑动速度将随柱体沿斜面下滚而不断增大。

6.2  设质量为m的复摆绕通过某点O的水平轴作微小振动,试求其运动方程及振动周期。

 [] 复摆又叫物理摆,日常中看到的钟摆就是复摆。在右图中,O是悬点,OC=l为悬点到质心C的距离。设此复摆绕通过O点的水平轴线转动,OA为竖直线,OCOA的夹角q就是复摆绕此定轴转动的角坐标。在复摆上作用着重力P=mg和轴承对它的约束反作用力N。复摆绕OZ轴转动的微分方程为

              (1)

由于振动是微小的,故有,,这样(1)

式变为

                 (2)

这是标准的谐振动方程,其通解为

          (3)

两个积分常数A分别是振幅和初相,它们均由初始条件决定。

振动周期为                                               (4)

这个式子说明,在小摆角范围内,复摆的周期与摆角无关。

6.3  质量为m2m3m4m的四个质点分别位于坐标系oxyz(aaa)
(a-a-a)(-aa-a)(-a-aa)四点,用无质量的杆连接起来构成一刚体三棱锥架。求对此三棱锥架几何中心O的惯量张量、主惯量和惯量主轴的方向(即本征矢量)

[]  几何中心就是坐标系原点,根据式(6.4.3)(6.4.4)计算刚架对Oxyz坐标系的张量组元分别为

T11=T22=T33=20ma2 T12=T21=0 T13=T31=-2ma2 T23=T32=-4ma2

即惯量张量

在点O的本征值应满足久期方程

                       (20-)[(20-)2-20]=0

由此解出的三个实根:,故得刚架在点O的主惯量为           

在点O的惯量主轴方向就是对应于以上各本征值的本征矢量方向,根据式(6.4.2)

对应于主惯量

本征矢量 

对应于主惯量

本征矢量 

对应于主惯量

本征矢量 

容易判断,三个本征矢量e1e2e3即三个惯量主轴是相互垂直的。

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