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当前位置：学习内容 -第七章 正则方程 |
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一般情况下，(7.1.6)式的f是x、y和y¢的函数，即 f = f(x，y，y¢) 当f不显含x时，因为
所以(7.1.6)式存在第一积分
应用这个方程可以解本节开始时提出的极小值问题。对于上述悬挂着的绳索，有
因为f不显含x，因此可将(7.1.8)式代入(7.1.7)式，得
化简后得 由此有 积分得 这就是图7.1.1所示的悬链线方程。式中的常数l恰好是悬链线最低点的高度。 3．哈密顿原理 设有n个质点组成的体系，这个体系可以由3n个坐标x1，…，xn；y1，…，yn；z1，…，zn来描述，而每一个坐标都是时间t的函数。令该系统的初始位形由初始时刻t1时的3n个广义坐标的确定值给出，在这３n维“位形空间”中的一个点就完全代表了由３n个质点组成的体系的运动状态(更一般的情况是用广义坐标qj而不是直角坐标xj来定义位形空间)。在这种位形空间中，体系的全部运动都可用一条连接起点和终点的曲线来描述。这一多维空间中的曲线和真实三维空间中一个质点的运动所确定的真实物理路径并不完全类似。时间这个独立变量起到一个参数作用，这个参量标志着体系在两点间的曲线上运动时的位置。 现在假想有一体系沿着位形空间中两个相邻的路径运动。加在系统上的任何约束都保持不变，沿着曲线的时间间隔tf-ti和端点的位置都保持不变。例如。我们可以通过改变与时间有关的一个或更多的坐标来得到不同的路径。如果原来的曲线满足这些运动方程，牛顿定律给出了满足初始条件和最终条件的有限解，那么邻近路径(即领近曲线)就一定不满足运动方程。为了进一步分析这一特点，让我们把dxi叫做xi的“变分”，用它表示任意时刻t邻近路径和真实路径的差。由以前的知识知道，对保守系统作用在体系上的力所作的功等于势能改变量的负值。对两条路径间的势能变分，有
这里Ｆi是作用在第i个质点的力，式中应用了牛顿第二定律。上式右端又可写成
而动能的变分为
可见
对时间积分，注意到右边含有因子
其中
(7.1.10)式称为保守力系作用下的哈密顿原理，它可从牛顿定律直接得到。哈密顿原理提供了另外一种求解运动方程的方法。(7.1.10)式说明，拉格朗日函数的时间积分对运动的真实路径必有极值。实际上，这一积分就是通常的极小值。定积分S叫做作用量，又称主函数，它具有能量一时间的量纲，S依赖于qj，而qj又是自变量t的函数。故S是一个泛函S[qj(t)]。所谓泛函就是，如果y(x)是x的函数，那么J[y(x)]就称为函数y(x)的泛函数，简称泛函。 哈密顿原理告诉我们，保守的完整的力学体系，在相同时间内，在由某一初位形到另一已知位形的一切可能运动中，真实运动的作用量具有极值，即对于真实运动来说，作用函数的变分等于零。 |
