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位置：第五章第四节

四、数学能力及其培养

1、数学能力概述

能力是保证人们成功地进行实际活动的较稳固的心理特征的综合。它是与活动要求相适应,保证活动顺利完成的基本条件。一个人如果具有了某种能力,就具有了举行某种活动的能量，在与之相适应的活动中就会处于主动的地位，就能顺利地完成某种活动。能力是与活动紧密地联系的，能力体现在活动之中,离开了活动就无法对之进行考察和测定,离开了活动就无法进行能力的培养。

能力一般可分为两类,一类是一般能力,一类是特殊能力。一般能力是在各种活动中表现出来的基本能力。例如,观察能力、记忆能力、思维能力、想象能力、探索能力、动手能力等都属于一般能力,它们提保证各项活动顺利完成的心理条件。另一种是特殊能力,它是在某种专业活动中表现出来的能力。例如，数学能力就是一种特殊能力,它是与数学活动相适应,保证数学活动顺利完成的心理条件。

（1）数学能力的主要成分

数学能力根据数学活动的不同情形分为两种,一种是数学学习能力，一种数学研究能力。数学学习能力是在数学学习活动中,理解数学知识内容，顺利地掌握必要的技能、技巧的能力。数学学习能力是在数学学习活动中形成和发展起来的，它是用以保证顺利地完成数学学习所必须具备的心理条件。数学研究能力是在数学研究活动中所表现出来的能力,是具有创造性的能力，它是在数学学术研究活动中形成和发展起来的。我们这里主要研究的是数学学习活动,所以所讨论的数学能力主要是指数学学习能力。瑞士心理学家魏德林曾给数学能力作了如下的定义：“数学能力是理解数学的(以及类似的)问题、符号、方法和证明的本质的能力；是学会它们,在记忆中保持和再现它们的能力；是把它们同其他问题、符号、方法和证明结合起来的能力；也是在解数学的(或类似的)课题时运用它们的能力。”数学能力由以下一些主要成份组成。

①感知数学材料形式化的能力

形式化是数学的特点之一,数学是用特定的符号来表示数量及其关系,表示空间概念和性质,并把有确定意义的数学符号作为“形式”对象进行运算和论证。在数学学习活动中就要与那些表示空间概念和数量关系的形式符号打交道,在形式表达式中掌握其实质含义，在数、符号、图形的范围内把一般原理用于特殊情况；在特定的情境中用形式符号进行逻辑推理；在实际问题中,抓住本质的关系结构，并表示成可用数学方法处理的形式表达式等。而感知是认识过程的先导是思维的源泉，这就决定了在数学学习活动中必须具有感知数学材料形式化的能力。

②对数学对象、数和空间的关系的抽象概括能力

前面已经讲过,理解是学生运用已有的知识和经验去认识事物的种种联系、关系,直至认识其本质、规律的一种逐步深入的思维活动。要理解事物，首先要通过感知,明确事物的外部联系和关系；其次要通过思维,揭示事物的本质特征和发展变化的规律,在这一认识过程中,总是离不开抽象和概括。特别是数学,它所研究的对象本身就是从现实世界中概括出来的,而数学学习又是在这一基础上的抽象概括。数学的这一高度抽象性和概括性；决定了抽象概括能力是学习数学所必须的能力。

③运用数学符号进行推理的能力

数学作为一个知识体系来说,是从一组尽可能少的概念和命题出发，运用推理这一工具推得的一系列命题所组成的。离开了推理就无法进行数学的学习。魏德林在进行了大量的测验之后指出:“数学推理能力是构成数学能力的基础。”M·卡尼霞在调查研究的基础上也得出这样的结论:数学能力的基础就是应用符号进行推理的能力。

数学推理是一种特殊的推理。数学推理的对象是表示数量关系和空间形式的数学符号，数学推理的依据主要来自问题所在的数学系统本身和有关的数学系统。在推理过程中,在某一问题的思考过程中,数学推理是连贯进行的。数学推理的这种特点，使得推理具有一定的难度。

④运用数学符号进行运算的能力

数学研究的主要内容是现实世界的数量关系和空间形式,数量之间的关系主要表现为某种运算关系。在解决数学问题时,能否迅速、准确地进行运算,直接影响到数学活动的效果,因此运算能力也是数学学习的基本而重要的能力。运算也是一种推理,不过这种推理具有较多的算法性质。数学运算不单指数值计算，它还包括符号运算，像数学中的代数运算、几何量的运算、初等函数的运算、求极限的运算、微积分运算等都属于这种情形。对这些知识的学习必须要求学生具备应用符号进行运算的能力。

⑤思维转换能力

思维转换能力是从一种心理运算转变为另一种心理运算的能力。思维转换能力要求学生既能遵循数学教材原有的逻辑顺序和思维方向去理解、接受、掌握相应的数学知识,而且要求能迅速地、灵活地从原有的逻辑顺序和思维方向上摆脱出来,转换到与原来不同甚至相反的思维方向去探究新的解决数学问题的途径和方法。在数学学习活动中,既有其一定程式的一面,又有其灵活变通的一面,如果学生缺乏思维转换能力，那么对一些条件已作变化的问题以及一些非常规问题、非标准题,就摆脱不了习惯的思路和常规的解题模式的束缚而束手无策。因而思维转换能力是数学能力的一个重要组成部分。

⑥记忆特定数学符号、抽象的教学原理和方法、形式化的数学关系结构的能力

学生的各种学习活动都是以记忆为基础的。如果一个学生边学边忘,那就什么也学不会,也就不能获得知识和技能。在数学学习中,数学知识的记忆有其特殊性,数学材料是经过抽象概括后的数学符号、数量关系和原理，它既有具体的内容，又有形式表达,在识记时需要抛弃与识记对象没有直接关系的东西,仅把形式框架保持在记忆之中,而再现时,既需要唤起有关的形式框架,又要把它与相应的具体内容建立联系。另外，数学材料的记忆必须具有选择性。大脑不可能保持全部信息,只是重点记忆证明的思路、推理的途径、解题的步法和运算的模式等,而不是具体的数据和过程。这就要学生具有记忆特定的数学符号、抽象的数学理论和方法、形式化的数学结构的能力。

以上一些能力是构成数学能力的主要成分，它们是密切联系,相互影响的。它们与一般能力结合在一起形成一个综合的结构——数学能力结构