为了便于学习，我们首先考虑两种简单情况。

1. 线性插值多项式

设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在给定节点上的值分别为构造一个不超过一次的多项式:

使之满足条件：

它的几何意义是，求通过给定点的一直线近似曲线y=f(x)，如图2-1所示

图2-1

由解析几何知，过给定两点的直线方程为：

若记

则（2.1）式可写成

把分别称作点的一次插值基函数，显然它们具有如下性质

,即

线性插值多项式则为节点的插值基函数与函数值乘积之和。

2 .抛物线插值多项式

设函数在区间[a，b]上连续，在给定节点上的值分别为构造一个不超过二次的多项式:
使之满足条件：。

它的几何意义是，求通过给定点的一抛物线近似曲线， 如图2.2所示:

图2-2

像前面线性插值那样，设

下面我们求二次插值基函数。由条件

可得在三个节点上的数值表为：

表2-1

先求点的二次插值基函数,由于它是一个不超过二次的多项式，且有两个

零点，于是可把写成：

再利用条件可求得

这样就求得了点的二次插值基函数

用同样的方法，可以求出点的二次插值基函数，它们分别为：

，

于是得求的不超过二次插值多项式为：

3  n次插值多项式

设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在给定n+1个不同节点上的值分别为,要求构造一个不超过n次的多项式: , 去近似函数y=f(x)，使之满足插值条件：

它的几何意义是，用过n+1个不同点的n次代数曲线近似地代替曲线 ，见图2-3

图2-3

现在采取上述构造一、二次插值多项式的方法，来构造一般插值多项式,设在给定n+1个不同节点上的n次插值基函数分别为，则所求不超过n次的插值多项式表示为：

下面求插值基函数由条件：

可得插值基函数在各节点上函数值表为：
                                   表2-2

作为任一点的n次插值基函数分别为，由于在除外所有节点取值皆为0，因此，
含有因子,又因为为n次多项式，故
可表示为：

再由条件得

                                                               .............（2.3）

其中

将（2.3）式称为函数的拉格朗日插值多项式。

相关链接： 拉格郎日插值法计算框图

相关算法： 一元全区间不等距插值