很显然（2.3）式给出的多项式满足插值条件：

     假设另外存在一满足插值条件的不超过次的多项式，设则是不超过次的多项式，且满足这说明一个不超过次的多项式具有+1个不同零点，这只有，即：

这就证明了满足插值条件，不超过n次的插值多项式是唯一的。

设是函数，不超过n次的拉格朗日插值多项式，

则当时，有

当时，与f(x)一般是不相等的，其差函数称为拉格朗日插值余项（或拉格朗日插值误差）。

定理2.1函数 在区间[a，b]上存在+1阶导数，则有拉格朗日插值余项为

                  (2.4)

证明由

即皆为的零点知含有因子ω(x),设

其中K(x)为待定函数.为求出K(x),我们引进辅助函数

则在[a,b]上至少有+2个互异零点,X,且存在+1阶导数.在+2个零点构成的+1个子区间上，应用微分学罗尔定理,则每个子区间中至少有的一个零点 ,从而在[a,b]内至少有的+1个零点.在这+1个零点构成的个子区间上，再应用罗尔定理得在[a,b]内至少有的个零点,在[a,b]内至少有的一个零点，设为ξ，则有

于是可得

若记

则有

（2.5）式称为拉格朗日插值误差估计式。

对于线性插值，其余项为

对于二次插值，其余项为

相关算法： 一元全区间不等距插值

例1 已知用线性插值计算，并估计误差。

解取最接近x=5的两点为插值节点，两个插值基函数分别为

故有

下面估计误差

因为

所以

例2已知的函数表

求在[0，2]内的零点近似值。

解因为关于x严格单调减少，用反插值法求 零点的近似值比较简单，

具体作法如下：

先作反函数表

将节点及对应函数值代入二次拉格朗日插值多项式（2.2），再令X=0,得

于是得在[0，2]内零点

值得注意的是，只有所给函数（或函数表）在[a,b]上严格单调情况下，才能使用反插值方法，否则可能得出错误结果。

练习 2.1

1．已知函数表

求抛物插值多项式及其余项。

2．已知插值基函数，

证明：当时，

练习题答案

上一单元

下一节

1．余项为 2．提示：设， 由