当前位置：第2章>>第2节>>2.2.2
 

牛顿插值多项式

 

由差商定义

得

再由

得

同理可得

将上面得到的

， ， … ，

依次代入

得

若记

（ 2.9 ）

                  ，                      （ 2.10 ）

则有

将（ 2.9 ）式称为 的牛顿插值多项式，（ 2.10 ）式称为牛顿插值余项。

由              

再由插值多项式的唯一性，则有

                      ，                                （ 2.11 ）

当 存在 n+1 阶导数时，则有

   ，       （ 2.12 ）

其中

由（ 2.9 ）式易知牛顿插值多项式满足递推式

                                                    .................（ 2.13 ）

   于是应用牛顿插值多项式，当增加一个节点时，只要在已求得的多项式基础上增加一项即可，从而克服了拉格朗日插值多项式全部需要重新计算的缺点。

例3 已知 lg2.71=0.4330, lg2.72=0.446, lg2.73=0.4362, 用插值法求 lg2.715, lg2.718 的近似值。

解 因为各节点很接近，应用线性插值计算简便可行。取 ， ，则有

代入线性牛顿插值多项式，得

将 分别代入，得

在四位数表中的修正项，多用线性插值中 计算的。

例4． 已知 函数表

X

0

1

2

y

3

6

11

求二次牛顿插值多项式，并计算 的近似值。

解  列差商表

一阶差商

二阶差商

0

1

2

3

6

11

 

3

5

 

 

1

将表中最上斜行中函数值与各阶差商值代入二阶牛顿插值多项式，得

令 ，得

例5已知 函数表

X

0

1

2

3

y

3

6

11

20

求三次牛顿插值多项式。

解 此例比上例增加了一个节点，由牛顿插值多项式的递推式，得

列差商表求 ，只需在上例差商表中增加一行即可

一阶差商

二阶差商

三阶差商

0

1

2

3

3

6

11

20

 

3

5

9

 

 

1

2

 

 

 

1

则得三次牛顿插值多项式

练习 2.2

1 ． 已知 ，求 。

2 ． 已知函数表

x

0

1

2

y

5

求牛顿插值多项式 及其余项。

练习题答案
  上一单元   下一节