埃尔米特插值余项
定理2.2若在上存在阶导数。则对任意，总存在依赖于，使
(2.18)
证明 由于是的二重零点，所以它必含有因子，设
其中为待定函数，为求出，我们引进辅助函数
则在上至少具有（零点和三重零点一共个零点，由罗尔定理知，在内至少有个零点，再反复应用罗尔定理得在内至少存在一点，使
于是可得
当时，满足条件(2.14)的埃尔米特插值多项式(2.15)的余项
(2.19)
其中位于之间。
相关算法： 埃尔米特不等距插值
例6 已知函数的数值表：
4
9
2
3
试用两点三次埃尔米特插值公式计算的近似值，并估计误差。
解 因为，由式(2.14)有
与准确值比较，已准确到位，比已知两点的线性插值效果好。
因为函数及其各阶导数分别为
，，
。
利用式(2.19)，便有
练习 2. 3
1. 已知函数表
求埃尔米特插值多项式 及其余项。
2. 求满足条件 的一次埃尔米特插值多项式及其余项。
练习题答案
1 ． ，
余项为
2 ． ，余项为
。
在
上存在
阶导数。则对任意
，总存在
依赖于
，使
(2.18)
是
的二重零点，所以它必含有因子
，设
为待定函数，为求出
，我们引进辅助函数
在
上至少具有（零点
和三重零点
一共
个零点，由罗尔定理知，
在
内至少有
个零点，再反复应用罗尔定理得在
内至少存在一点
，使
时，满足条件(2.14)的
(2.19)
位于
之间。
的数值表：
的近似值，并估计误差。
，由式(2.14)有
与准确值
比较，已准确到
位，比已知两点的线性插值效果好。
及其各阶导数分别为
，
，
，
，
。
及其余项。 
的一次埃尔米特插值多项式及其余项。 
，
，余项为 