设在区间 上给定 函数表

求插值函数 ，使它具有下列性质

（ 1 ） 。

（ 2 ） 在每个小区间 上为不超过三次多项式。        （ 2.23 ）

由两点三次埃尔米特插值多项式得

(2.24)

将满足条件（ 2.23 ）的函数（ 2.24 ）称为 分段三次埃尔米特插值函数 。

分段三次埃尔米特插值函数具有以下的误差估计。

定理 2.4 设 为满足条件 (2.23) 的分段三次埃尔米特插值多项式。若 在区间 上存在四阶导数， 则对任意 ，总有

           （ 2.25 ）

其中 。

证明 对任意 ，必有 ，使得 ，由埃尔米特插值余项公式得

又因为

所以

例10    已知函数

的函数表

试用分段三次埃尔米特插值求 在每个小区间中点的近似值。

解 将由分段三次埃尔米特插值公式（ 2.21 ）得

代入分段三次埃尔米特插值公式（ 2.21 ）得

具体计算结果如表 2-8 所示

表 2-8

看出用分段三次埃尔米特插值比用分段线性插值，逼近精度有较明显的改进。

练习 2.4

1. 已知函数表

求分段线性插值函数 。

2. 怎样选择步长 ，才能使分段三次埃尔米特插值函数 与 误差小于

练习题答案