最小二乘多项式 ,就是对函数 通过观测得到的一组数据 要求一个 次多项式

去逼近函数 , 使得各节点的偏差

平方和 , 即

取最小值 .

下面讨论求 最小二乘多项式的方法 ,我们仅讨论 的情形.

当 时,则有

此时各节点的偏差平方和为

要求 最小二乘多项式 , 就归结为求函数

的最小值点 .

由多元微分学知 , 应满足方程组

经整理得

                                (3.1)

若引入记号

则方程组可写为

称系数矩阵对称的方程组 (3.1) 为正规方程组或法方程组 .

可证明法方程组 (3.1) 存在惟一解 , 且函数

为所求的 最小二乘多项式 .

通过上面的讨论 ,我们知道要 求一般 最小二乘多项式

                 (3.2)

也就是求偏差平方和函数

           (3.3)

的最小值点 .

它可归结为求法方程组

                                (3.4)
的唯一解 

其中                         

相关算法： 最小二乘曲线拟合

例 2 用一滑轮组举起 的重物要用 的力 , 实验所得的数据如下 :

求适合上述关系的近似公式 .

解 先把这些数据画在直角坐标系中 , 从图3-2

图3-2

看出它的变化趋势大致是一条直线 , 故设

按最小 二乘法确定 , 由于 ,

按式 (3.1) 计算 得

得法方程组

求解得

所求最小 二乘一次式为

用最小二乘法求近似曲线的方法，又称曲线拟合法，称所求得的曲线函数为经验公式，它的函数类型完全由所给数据的走势所决定。

例 3 求矛盾方程组

的最小 二乘解

解 未知量 和 无论取什么值总不会使以上每个方程都恒等.

设第 个方程出现的偏差记为 ,于是原 方程组改写为

求使偏差平方和为最小的 作为 原 方程组的解 , 为此 , 设偏差平方和为 , 则

使 为最小值的 应满足

于是得正规方程组

解得

这就是矛盾方程组的最小 二乘解 .