定理3.1 法方程组 (3.4) 的解的存在且唯一 , 而且此解是函数 的最小值点 .

证明  要证明法方程组存在唯一解，只需证明其系数行列式不等于零。采用反证法，假设系数行列式为零，则其对应齐次方程组

必有非零解。将方程组中第个方程乘以，此后对所有相加得

于是得，即次多项式具有个零点，则恒为零，即，与假设系数行列式等于零矛盾，所以法方程组存在唯一解。

其次，证明法方程组的解使取最小值。假设

是不同于的任意次多项式，则有

由

得右端第二项

所以有

即

这就证明了为偏差平方和最小的次多项式。

练习 3.1

1.已知观测数据

求最小二乘一次多项式

2. 求矛盾方程组

的最小二乘解。

练习题答案