在高等数学中学习傅立叶级数时，曾提到函数系

中，由于其中任意两个不同函数的乘积在区间 上的积分等于零，则称这个函数系在 上是正交的，或称这个函数系为 上正交函数系，对于多项式也有类似的定义．

若多项式序列： 满足条件

其中 为不恒为零的非负连续函数，则称 为 上带权 的正交多项式系．

若 则称 为标准正交系．

如果讨论正交时没有说明权函数是什么，就意味着所指的权函数为 。

下面给出正交多项式系几个重要性质：

①任意 n次多项式 可用正交多项式 线性表示，即

                (3.5)

其中

② 与任意低于n次的多项式 在 上带权 正交，即

③正交多项式 在 ,内有n个互异实根。

证明 由于 是n次多项式，所以它至多有n个实根．下面来证明它在 内部的相异实根个数不能小于n，用反证法．假设 在 内部的相异实根小于n，那么取出其中的所有奇次重根 ，其个数一定小于n，因此，

为次数低于n的多项式，而 在 内部不变号，只在有限个点处取零值．所以

这与性质 2矛盾．故 在 内部恰有n个相异实根．

④若 是首系数为1的在 上带权正交多项式系，则

         （3.6）

其中

证明 由 为首项系数为l的n+1次多项式，可表为

用 乘两边，积分得

当 ，时，则有

所以

当 k=n-1时，则有

所以

当 k＝n时，则有

所以

递推公式 (2)对于计算和研究正交多项式是很有用的·