函数系

称为勒让德多项式．它的首项系数 与多项式

的系数相同．所以 的首项系数

                                                   （3.7）

勒让德多项式有以下主要性质：

① 勒让德多项式为区间[一1，1]上以为权的正

交多项式．

证明 考虑积分

其中

当(不妨设)时，连续使用馆次分部积分公式

得

当 m=n时，同上推得有

令x=sin t，则

于是有

② 当n为偶数时，为偶函数；当n为奇数时，为奇函数，即

                                             (3.8)

这个性质可直接由 (6)得出．

③ 勒让德多项式具有递推关系

                  (3.9)

证明 由正交多项式系性质4，有

其中 分别是正交多项

的首项系数，即

从而，得

由递推性质，可以写出任意次的勒让德多项式：