函数系                （3.10）

称为切比雪夫多项式，它具有以下重要性质：

①切比雪夫多项式是在 上以 为权的正交多项式．事实上，因 令

即有

                                       （3.11）

②切比雪夫多项式具有递推关系

(5)

其中 取

由三角恒等式

即可导出上述递推关系．

内(5)式可以写出任意次的切比雪夫多项式

由 (6)易知 为首项系数 的n次多项式．

③切比雪夫多项式 在[一1，1]上有n个互异实根：

(7)

证明 若令

,则 ，由 得

故

④切比雪夫多项式 在[一1，1]上有n＋1个偏差点

轮流取到最大值 1和最小值－1

事实上，             (3.12)

⑤切比雪夫多项式 ，当n为奇数时为奇函数，当n为偶数时为偶函数．

事实上，

                (3.13)

⑥ 在[-l，1]上一切首项系数为1的多项式 中，

对 0的偏差最小，即

证明 由切比雪夫多项式 的定义知， 是首项系数为1的n次多项式．如果存在另一首项系数为1的n次多项式 ，它对0的偏差比 对0的偏差小，即

                          (3.14)

由于 ，n是 的交错点组，故 在 处轮流取

根据上述不等式知

因此， 在n+1极值点 处交替取正负号，故由罗尔定理知，

至少有n根．但 为次数不超过n+1次的多项式，所以必有

从性质 6推知，所有首项系数为l的n次多项式在区间[-l，1]的最大值满足