为了便于讨论，我们用

来表示生成的一个基底，即

于是，任意一个不高于m次多项式g(x)可表成

定义:设函数f(x)∈C[a，b]，若m次多项式

满足关系式

                     (3.18)

则称为在区间[a，b]上带权的m次最佳平方逼近多项式。

显然，求最佳平方逼近多项式关键在于求它的系数

根据最佳平方逼近多项式的定义，容易看出点()

必然是多元函数

的最小值点。由多元函数微分学知，系数满足方程组

                                  (3.19)

即

于是得：                      (3.20)

上式是关于的线性方程组，线性无关，故系数行列式不为0，因此，法方程组（3）存在唯一解

下面我们证明

便是所要求的最佳平方逼近多项式。事实上，对任意均有

注意上式右边第二项可改写成：

而第一项

，

所以

以下证明了的最佳平方逼近多项式存在、且是唯一的，同时给出了求最佳平方逼近多项式的方法。

当取权函数，求函数在中的m次最佳平方逼近多项式               时，
                                 

代入（3.20）式，得方程组的系数行列式为，用G代表所对应的矩阵，则G是希尔伯特矩阵

再记及，于是，得方程组，

解得

例4  求函数在[-1,1]上一次最佳平方逼近多项式．

解 得

因此，得方程组

解得

所求一次最佳平方逼近多项式为

在实际计算，取的非正交基底求最佳乎方逼近多项式时，系数矩阵是希尔伯特矩阵，当m较大时，是高度病态的，因而给求解带来困难．为此，通常借助于选择正交基底直接计算最佳平方逼近多项式的系数，而不用解线性方程组．