设是区间[a,b]上带权正交多项式，在

中求最佳平方逼近多项式，根据(3.20)式有

因为是正交多项武，所以有

例5  求函数在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式．

解 因要求在[－1，1]上权为1的最佳平方逼近多项式，故选取勒让德多项式作基底．

设所求多项式为

其中

利用(3.21)计算：

所求二次最佳平方逼近多项式

对于在任意有限区间[a,b]上的最佳平方逼近问题，可应用变换，将化为[-1,1]上的函数，然后求出F(t)在[-1,1]上的正交多项式，于是得到在[a,b]上的最佳平方逼近多项式：

例6  求函数在[0,2]上的一次最佳平方逼近多项式．

解 通过变换x=t＋2, 将化为[-1,1]上函数，设在[-1,1]上最佳平方逼近一次式，

则有：

于是在[0,2]上最佳平方逼近一次式为

练习3.3

1．求函数在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式．

2．求函数在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式．

练习题答案

1. 2. 利用变换,将化为[-1,1]上函数,计算 所以