对于求积公式的精度 , 一般地可以通过余项 的大小来衡量 , 但有时估计余项比较困难 . 为了讨论方便 , 我们引入代数精确度的概念 .

定义 若一个求积公式对于代数多项式 都精确成立，而对于 不成立，则称求积公式具有 次代数精度。

一般地，代数精确度越高求积公式就越精确。

定理 4.1 个节点的求积公式是内插求积公式的充要条件是它至少具有 次代数精确度。

证明 设有某求积公式为

                                    (4.4)

必要性 如果 (4.4) 为内插求积公式 , 即 , 则当 为不高于 次的多项式时 , 必有 , 所以 , , 即 . 则有

                                  (4.5)

充分性 如果对于任何不高于 次的多项式有精确等式 (4.5) 成立 , 则式 (4.4) 必为内插求积公式 , 即 ,

事实上 , 依次取 为下列 次多项式

显然有

依次代入 (4.5) 式 , 则得

这一结果说明 个节点的求积公式 (4.4) 是内插求积公式 .

定理 4.1 表明 个节点的内插求积公式代数精度至少是 次 , 也可能更高 .

例 2 求 , 以 为节点的 内插求积公式 ,并求其 代数精确度 .

解 (1) 已知节点

由系数公式 (4.1) 得

,

由式 (4.2) 得所求的 内插求积公式为

(4.6)

(2) 因为有 3 个节点 , , 根据定理 4.1 知它至少有 2 次代数精确度 , 它是否有高于 2 次代数精确度 , 则用定义验证

当 时 , (4.6) 式

左边 = ,

右边 =

即左边 = 右边

当 时 , (4.6) 式

左边 = ,

右边 =

即左边右边

所以知此内插求积公式具 有 3 次代数精确度。