1. 梯形公式

梯形公式为 n=1 时的牛顿 - 柯特斯公式。由系数公式 (4.7), 取 n=1 计算柯特斯系

得

将其代入 (4.8) 式 , 并注意到 , 则得梯形公式为

                                        (4.10)

梯形公式的几何意义 : 用过 两点的直线与 围成的梯形面积近似代替 在 上定积分的曲边梯形面积，见图 4-1。

图 4-1

2。 梯形公式的余项

梯形公式是具有两个节点的 内插求积公式 ,由定理4.1得至少具 有 1 次代数精确度

当 时 , 则有梯形公式 (4.10) 得

左边 = ,

右边 =

左边 右边 , 所以梯形公式 具 有 1 次代数精确度

定理 4.2 若 在 [a,b] 上连续，则梯形公式 (4.10) 的余项为

    (4.11)

证明 由 的 内插求积公式的余项

因 在 [a,b] 上连续，而 在 (a,b) 内恒小于零 , 由积分学第二中值定理 , 在 (a,b) 内存在一点 , 使

所以 ,

例 3 用梯形公式计算得

并估计误差 .

解 应用梯形公式 (4.10) 计算得

由

和余项公式 (4.11) 得