1 ．辛卜生公式

辛卜生公式为 n=2 时的牛顿 - 柯特斯公式。由系数公式 (4.7), 取 n=2 计算柯特斯系

得

将其代入 (4.8) 式 , 并注意到 , 则得辛卜生公式为

                           (4.12)

辛卜生公式的几何意义 : 用过三点 抛物线与 围成的曲边梯形的面积近似代替 在 上定积分的曲边梯形面积 见图 4-2

图 4-2

2 ．辛卜生公式的余项

    辛卜生公式是具有三个节点的 内插求积公式 ,由定理4.1知它至少具 有 2 次代数精确度

当 时 , 则由辛卜生公式 (4.12) 得

左边 = ,

右边 =

即左边 = 右边 , 故当 为不高于 3 次的多项式时 ,(4.12) 式精确成立 , 同理可以验证当 时 , (4.12) 式不精确成立 , 所以辛卜生公式 具 有 3 次代数精确度 .

定理 4.3 若 在 [a,b] 上连续，则辛卜生公式 (4.12) 的余项为

                  (4.13)

证明 因 在 [a,b] 上连续，对被积函数 构造一个 3 次插值多项式 , 使它满足

其中

由埃尔米特插值公式知

依赖于 , 对上式两边积分得 ,

因为 辛卜生公式 具 有 3 次代数精确度 , 于是有

所以

由于在区间 上

,

由积分学第二中值定理知 , 在 内存在一点 , 使

其中

所以 ,

例 4 用辛卜生公式计算得

并估计误差 .

解 应用辛卜生公式 (4.10) 计算得

由

和余项公式 (4.13) 得

练习 4.2

1 ． 用梯形公式计算积分 并与真值相比较。

2 ． 用辛卜生公式计算积分 并与真值相比较。

练习题答案