龙贝格 (Romberg) 积分法 , 亦称逐次分半计算加速法 , 它是在区间逐次分半、并在区间上利用梯形公式的基础上，进行适当组合而得到的更精确的求积分近似值的方法。

     设将区间 分为 等分，利用复化梯形公式（ 4.14 ）求得积分近似值为 ，当 在区间 [a,b] 上连续时，由余项公式（ 4.15 ）得

如果精度不够，将每个区间分半，再由式（ 4.14 ）求得积分近似值为

当 在区间 [a,b] 上变化不大时，则有 = 。

可以直接验证 恰是将区间 分为 等分的复化辛卜生求积公式（ 4.16 ），它要比 更精确。

当 在 [a,b] 上连续时 , 由余项公式（ 4.17 ）得

如果将每个区间分半，再由式（ 4.16 ）求得积分近似值为

当 在区间 [a,b] 上变化不大时，则有 。

                  ，                  （ 4.18 ）

可以直接验证 恰是将区间 分为 等分的 4 次牛顿 - 柯特斯公式，它的误差为 ，要比 更精确。

继续这个过程，将会得到越来越精确的求积公式。这就是龙贝格 (Romberg) 积分法。下面给出它的具体计算过程。

(1) 计算

(2) 对 ，将区间 分为 等分依次计算 龙贝格积分公式：

，      （4.19）

(3) 若

则取 ，否则， 转到（2）再计算。

相关算法： 龙贝格求积法

例 7 用龙贝格 (Romberg) 积分法计算

精确到

解 按龙贝格积分法计算步骤如表所示

由于

所以，取 。

实际上 。

练习 4.3

1 ． 用 的复化梯形公式，复化辛卜生公式计算积分 并与真值相比较。

2. 用复化梯形公式求 积分，准确到 。

练习题答案