逆幂法是求实方阵按模最小特征值及相应的特征向量的一种反迭代方法。
1. 求A按模最小的特征值

设非奇异矩阵A 的n个特征值为，其相应的特征向量为e，则的特征值为

其相应的特征向量仍为。

按模最大的特征值的倒数则为矩阵A按模最小的特征值。

利用乘幂法求按模最大的特征值。

任取初始非零初始向量，作迭代序列

它等价于                                         （7.5）

我们可以通过反迭代过程，即解方程组.

求得 .

当 k充分大时，则有

在实际计算中，为了减少运算量，先将矩阵A作三角分解A=LR

然后再求解方程组

2．求在附近的特征值

设与最接近的特征值为即有

作矩阵，它的特征值和相应的特征向量为

若用逆幂法于矩阵，则有

则可求出矩阵的按模最小的特征值和相应的特征向量为

于是得A在附近的特征值和相应的特征向量为

             （7.6）

例3 用逆幂法求矩阵在3.4附近的特征值和相应的特征向量

解 对进行三角分解得：

用半次迭代法，取，则

得

再解

得

再解

得

于是

练习7.1

1.用乘幂法求矩阵按模最大特征值与特征向量

.

2.用乘幂法求矩阵按模最大特征值与特征向量

练习题答案

1． 2．