雅可比法是求实对称矩阵全部特征值和特征向量的一种变换方法。雅可比法的基本思想是，用一系列平面旋转相似变换将对称矩阵A化为对角矩阵D，则对角矩阵D的n个对角元素就是A的全部特征值，而变换阵之积的各列就是相应的特征向量。

由代数学知，一个二阶对称矩阵

与一个二次型

    由几何学知，方程组表示在平面上的一条二次曲线。如果将坐标轴旋转一个角度，使得旋转后的坐标轴与该二次曲线的两主轴重合，如图7-1所示

                                      图7-1

在新坐标系中，二次曲线方程就化成了标准型

完成这个旋转的平面旋转变换为

其中                      

容易证明R是正交矩阵（即满足），所以平面旋转变换为正交变换。

我们由

可得

所以为矩阵A的两个特征值，R的第1列，第2列分别为其相应的特征向量。

例4 .用雅可比法求矩阵的特征值和特征向量。

解 由

则有

∴矩阵A的特征值和特征向量分别为：

相关算法：求实对称矩阵特征值与特征向量的雅可比法

上一节

下一单元