学习目标

1 ．了解乘幂法、逆幂法、雅可比法的基本思想、收敛性及使用范围．

2 ．掌握乘幂法、逆幂法、雅可比法的计算公式，熟练掌握用乘幂法、雅可比法求矩阵特征值与特征向量。

导学

    求矩阵特征值与特征向量是数值代数另一个重要内容．而超过四次的多项式的根一般不能通过有限运算求得，因此，所有矩阵特征值与特征向量的计算方法本质上都是迭代法．可按不同标准将特征值计算方法进行分类，有时需要计算矩阵所有特征值与特征向量，而有时只需要计算矩阵部分特征值与特征向量，这就是矩阵全部特征值和部分特征值问题．针对这两类问题各自发展了一套有效的计算法．我们还可以就特征值问题的计算方法本身是否破坏原矩阵 A 进行分类．本章 7.1 所介绍的乘幂法与逆幂法是求矩阵部分特征值与特征向量的迭代法，它在计算过程中只用 A 乘向量而产生迭代向量序列，而不破坏矩阵 A。 7.2 所介绍的雅可比法，则是求对称矩阵全部特征值与特征向量的变换方法．它是通过对 A 进行一系列平面旋转相似变换，将 A 化为近似对角矩阵．对角阵的对角元为 A 的全部特征值，而各变换矩阵的乘积矩阵的各列为其特征向量，在计算过程中，矩阵 A 受到破坏。