（3.4.21）
由 
的定义和（3.4.3）式知能量本征值为
（3.4.22）
相应的本征波函数为
（3.4.23）
或者
（3.4.24）
其中，归一化常数
（3.4.25）
4、讨论
A、线谐振子的能级
（1）能量本征值 
与分立的量子数 
相关，能量是量子化的。
（2）最低的能量为 
，称为零点能。经典振子的零点能为零，玻尔-索末菲量子化条件的结果为 
。
（3）能级是等间距的，间隔都是 
。
（4）全部能级都是非简并的，这与定理三是一致的。
B、线谐振子的波函数
（1）若把波函数为零处的坐标值称为波函数的节点，则 
有
个节点。
（2） 
，
由定理4可知，他必有确定的宇称。由厄米多项式的性质可知所以，由定理4可知，它必有确定的宇称。由厄米多项式的性质可知
（3.4.26）