§4. 4 角动量算符
§4.
4. 1 球坐标系中的角动量算符
中心力场中的势能与坐标的方向无关，即
。粒子在中心力场中运动，角动量守恒。
在直角坐标系与球坐标系中，自变量之间的关系为
。
(4.4.1)
由此可得到在球坐标系中，角动量算符
与其平方算符
分别为
(4.4.2)
(4.4.3)
§4
练习4
坐标变换
(4'.4.1)
(4'.4.2)
，
，
(4'.4.3)
(4'.4.4)
将(4.4.1)及(4'.4.1)－(4'.4.4)代入(4.1.41)和(4.1.43)可得(4.4.2)、(4.4.3)。
§ 4. 4. 2
角动量算符的本征问题
1．求解
的本征方程
由(4.4.2)中第三式知， 
满足的本征方程为
(4.4.8)
它的解为
(4.4.9)
由周期性条件
(4.4.10)
可得
(4.4.11)
其中，
称为轨道角动量磁量子数。
归一化常数
可用归一化条件
(4.4.12)
确定为
(4.4.13)
于是，归一化的本征函数为
(4.4.14)
2.
求解
的本征方程
由(4.4.3)式知， 
满足的本征方程为
(4.4.15)
其中，
是算符
的本征值。
利用分离变数法，令
(4.4.16)
其中，
是
的本征函数，已由(4.4.14)式给出。关于 
的方程为
(4.4.17)
令
，则 
，于是，(4.4.17)式可以改写成
(4.4.18)
或者，
(4.4.19)