定理2
若算符
与
满足对易关系
，且算符
满足本征方程(4.5.11)的解是无简并的，则
也必是算符
的本征态。
证明：用算符
作用(4.5.11)式两端，有
(4.5.20)
由上式可知
也是算符
的对应本征值
的本征态，因为
的本征态是无简并的，它与
只能相差一个常数因子 
，即
(4.5.21)
说明
不但是算符
的本征态，而且也是算符
的本征态。
当算符
的本征值有简并时，可以证明上述结论也是正确的，但是，此时的共同本征函数系需要加以适当选择（参阅喀兴林，高等量子力学，高教出版社，1999年，第47－49页）。
例如，
与 
都是 
的本征函数，而不是
的本征函数，但如果适当重新组合，则会得到 与 
的共同本征函数，
。
一般说来，若算符
的本征值 
是
度简并的，即
(4.5.22)
对于本征值
存在
个线性独立的简并波函数，总可以将其选为正交归一和完备的。
这时任一波函数展开式为，
(4.5.23)
其中，展开系数
(4.5.24)
那么，
时刻在
态上测得
取
值的几率为
(4.5.25)
这里本征值谱是分立谱，如连续，则求和化为积分。
§4. 5. 3力学量完全集
由上述两个定理可知，若算符的本征值是简并的，仅由其本征值无法惟一地确定其本征态。若要惟一地确定其本征态，必须再加上另一些与之对易的算符的本征值才可。例如，仅由
的本征值不能确定体系状态，必再加上
的本征值才能确定体系状态。这样，为了完全确定一个体系的状态，我们定义力学量完全集。
定义：如果有一组彼此独立而且相互对易的厄米算符
，它们只有一组共同完备本征函数集，记为 
， 
可以表示一组量子数，给定一组量子数后，就完全确定了体系的一个可能状态，则称
为体系的一组力学量完全集。
这里所谓的彼此独立算符是指，
中的任一个算符都不是其它算符的函数，例如 
是彼此独立的，而 
就不是；‘只有一组’意味着如果减少其中任一个算符，余下那些算符的共同完备本征函数集就有任意性，这也就是说，
是完全确定体系状态所需要的最少数量的一组算符。例如，一维谐振子的宇称算符和体系的哈密顿算符
是对易的，但完全确定体系状态却只要
就可以了。完全确定体系的一个可能状态所用的算符组可以不同，所用算符的个数大于或等于体系自由度的数目。例如，一维自由粒子的态函数，可以用动能及运动的方向 
这两个独立而相互对易的物理量确定其状态。
当然，对于确定体系的态函数说来，这两个力学量和起来的作用等价于一个力学量的作用，即动量的作用，这两组力学量确定的都是动量本征态。一维自由粒子的态函数也可以用宇称及动能来确定。
以上讨论说明，确定一个体系态函数的力学量完全集所包含的力学量，可以是不同的力学量，或不同数目的力学量。但必然存在这样一组力学量完全集，它所包含的力学量的数目等于体系自由度的数目组。例如，对于三维粒子，动量三个分量或者坐标三个分量都构成其力学量完全集，数目都是3。
因为
中的任一个算符的本征函数都构成完备本征函数系，而其余算符都与它对易，所以
必有共同完备本征函数集。如果一组算符不能都相互对易，由前述定理可知，则即使它们有共同本征函数，这些共同本征函数也不能构成完备本征函数集。一般地证明本征函数集的完备性是个复杂的问题。但如果体系的一组力学量完全集中包含有体系的哈密顿算符
，而
的本征值有下确界，无上界，则这组力学量完全集的共同本征函数集是完备的（曾谨言，量子力学，卷1，第二版，科学出版社，1997，第199－203页）。