例题
4
例题4.1 证明如下对易关系
证明：
（1）
（2）
例题4.2
证明
，其中， 
为任意矢量算符。
证明：将算符 
的 
分量作用在任意波函数 
上，有
（1）
由波函数 
的任意性可知，
（2）
对于 
分量算符亦有同样的结果，故欲证之式成立。
例题4.3
设作一维运动的质量为 
的粒子具有分立能谱，即
试证
证明：由爱伦弗斯特定理知
（1）
而坐标算符的运动方程为
（2）
所以有
（3）
于是，
（4）
例题4.4
证明
1．
对于任意一维束缚态、实归一化波函数 
，
2．
若哈密顿算符的本征值为 
、本征矢 
为实束缚态，则有
解：由算符平均值的定义可知
（1）
式中，利用了束缚态条件及波函数的归一化条件，于是有
（2）
利用
（3）