可求出在能量本征态下动量算符的矩阵元为
（4）
用 
乘 
并对其量子数 
求和，得到
（5）
由于
（6）
于是，得到
（7）
例题4.5
设粒子在宽为 
的非对称的一维无限深势阱中运动，若粒子处于状态
求粒子能量的可能取值与相应的取值几率。
解：已知在无限深势阱中运动的粒子的能量本征解为
（1）
（2）
由展开假设可知
（3）
其中，展开系数为
（4）
其中，用到下列三角函数公式
（5）
由（4）式知，波函数 
是归一化的。于是，能量的可能取值及其相应的几率为
；
（6）
显然，能量只能取 
和 
两个值，几率皆为 
，取其它值的几率为零。
例题4.6
设作一维自由运动的粒子 
时处于状态
分别求出 
和 
时粒子动量与动能的取值几率和平均值。
解：已知动量的本征矢为
（1）
将 
向其展开，得到
（2）
不为零的展开系数分别为
；
（3）
利用归一化条件
（4）
确定归一化常数
（5）
于是有
（6）
最后，得到 
时动量的取值几率为
（7）
动量的平均值为