（8）
动能的平均值为
（9）
当 
时，自由粒子的哈密顿算符为
（10）
因为
（11）
（12）
所以，其动量与动能皆为守恒量，它们的平均值不随时间改变，与 
时完全一样。
例题4.7
线谐振子在 
时处于状态
其中， 
。分别求出 
和 
时能量的取值几率及平均值。
解：已知线谐振子的能量本征解为
（1）
（2）
特别是，当 
时，有
（3）
（4）
于是， 
时的波函数可改写成
（5）
容易验证它是归一化的波函数。并且，由展开假设知
（6）
其中，
（7）
于是，
时能量的取值几率为
（8）
（9）
能量取其它值的几率皆为零。能量的平均值为
（10）
因为，
（11）
所以， 
时的波函数可以写成
（12）
显然，哈密顿量为守恒量，它的取值几率及平均值不随时间改变，故与 
时的结果完全相同。
例题4.8
线谐振子处于基态
计算 
，其中， 
。
解：差方平均值可表示为
（1）
计算等式右端的量，分别得到
（2）
（3）
其中用到积分公式
（4）