（5）
（6）
将其代入（1）式，得到
（7）
计算中应注意技巧。例如，（2）式为零是因为被积函数是奇函数；（5）式为零是因为右边为实，左边纯虚。
例题4.9
设体系的哈密顿算符为
求其能量本征值。
解：将哈密顿算符改写为
（1）
显然， 
构成力学量完全集，且其共同本征函数系为 
，于是
（2）
进而可知能量本征值为
（3）
例题4.10
粒子在宽度为 
的非对称一维无限深势阱中运动，若粒子分别处于状态
；
式中 
为归一化常数。证明如下无穷级数之求和公式
； 
；
解：在宽度为
的非对称一维无限深势阱中运动的粒子，其能量本征值与本征函数分别为
，
（1）
（2）
当粒子处于状态 
时，首先，利用 
的归一化条件求出归一化常数 
，即
（3）
于是，得到归一化常数的模方为
（4）
其次，将波函数 
向能量的本征函数系作展开，得到
（5）
式中的展开系数为
（6）
式中， 
。显然，当 
为偶数时， 
，而当
为奇数时，
（7）
由展开系数的模方之和为1可知
（8）
于是，得到无穷级数之和
（9）