§5. 2
厄米算符的性质
定理2
算符
为厄米算符的充要条件是在任意状态下，
其本征皆为实数值
证明：必要性容易证明。由厄米算符的定义，有
(4.2.1)
其次证明定理的充分性。
令
，
及
是任意波函数，代入(4.2.1)得，
由条件可得，
分别令将
及. 
代入上式，得，
，
。
将上两式相加，得到，
因为
及
是任意的，所以 
。
推论
厄米算符的本征值是实数
证明：设
为厄米算符，且 
，由(4.2.1)得
(4.2.2)
由厄米算符这些性质可知，量子力学中可观测量对应的算符都应是厄米的。
定理3
厄米算符的本征函数无简并时满足如下关系：
(4.2.3)
证明：
设
，
，且无简并。则由厄米算符的性质，有
(4.2.4)
由于无简并，当 时，
，故
。
(4.2.5)
当
时，由波函数的归一化条件知
(4.2.6)
上述两式可以统一写成
