例题5.2
已知在
和
的共同表象中，算符
的矩阵形式分别为
；
求其本征值及相应的本征函数。
解：在
和
的共同表象中，
满足的本征方程为
（1）
相应的久期方程为
（2）
于是，得到
满足的代数方程
（3）
显然，
。当
时，将其代回方程（1），得到
（4）
由上式可知
（5）
（6）
（7）
于是，有
（8）
利用归一化条件
（9）
得到
（10）
当
时，本征函数的矩阵形式为
（11）
同理可以求出
时相应当本征波函数的矩阵形式分别为
；
（12）
容易验证上式三个波函数是相互正交，而自身是归一的。
用完全类似的方法，可以求出
的本征值
，相应的本征波函数分别为
；
；
（13）