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  §6.2  氢原子  

§6.2.1  两体问题化为单体问题

1、两体定态薛定谔方程

氢原子的电子与原子核之间的相互作用库仑势为

                           (6.2.1)

式中, 为电子与原子核之间的相对距离。

严格地说,氢原子是一个两体体系,描述这样体系的波函数应该是 ,其中, 分别是电子和原子核的坐标变量。于是,定态薛定谔方程也要作相应的改变,即

         (6.2.2)

式中, 为体系的总能量 分别为电子与原子核的质量。

2、质心坐标与相对坐标的分离

引入质心坐标 相对坐标

                        (6.2.3)

                            (6.2.4)

可以证明, (  练习:6.2.5的证明

(6'2.1)

               (6'2.2)

类似地可得到:

              (6'2.3)

              (6'2.4)

将(6'2.2)-(6'2.4)相加,得

                 )

                                (6.2.5)

其中,

                                 (6.2.6)

                                      (6.2.7)

 总质量 约化质量(折合质量)。于是,方程(6.2.2)可以改写成

          (6.2.8)

上式可以分离变量,令

                             (6.2.9)

将其代入(6.2.8)式,得到两个方程

                         (6.2.10)

                   (6.2.11)

(6.2.10)式是描述体系质心运动的方程,它是一个自由粒子的波动方程, 是与体系的内部结构无关的质心运动能量。(6.2.11)式是描述体系中电子与原子核相对运动的方程, 相对运动的能量。体系的总能量 为质心能量 与相对运动能量 之和。

  

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