为使上式有解，式中的第一项求和应从 
开始，故有
上式成立的条件是 
的系数等于零，从而得到展开系数的递推关系
(6.4.14)
只有偶数 
的展开系数不为零。
为了满足波函数有限性的要求，必须对无穷级数作截断。设在 
处截断，则由(6.4.14)式知
(6.4.15)
或者写成
(6.4.16)
进而，利用(6.4.3)式得到球谐振子能量本征值为
(6.4.17)
略去复杂的推导过程，直接给出相应的本征波函数为
(6.4.18)
式中，
(6.4.19)
(6.4.20)
(6.4.21)
是连带拉盖尔多项式。
§6.4.2
讨论
在球谐振子的能量本征值表达式中，若令
(6.4.22)
则有与笛卡儿坐标系同样的能量本征值
(6.4.23)
能量是量子化的，能级间距是相等的，均为 
。
能量本征值是简并的。当 
取固定值时，简并度
(6.4.24)
当 
取固定值时，满足(6.4.22)式的 
还可以有多种选法。
若
或者 
，
相应的 
或者0，则其简并度与直角坐标系中的简并度相同，即
(6.4.25)