习题选讲7
例题7.1
设 和 是与 对易的两个矢量算符,证明
证明:将等式左端写成三个矢量的分量形式,即
(1)
利用
(2)
及
(3)
得到
(4)
例题7.2
求自旋算符在 方向投影
的本征值和相应的本征矢。在其两个本征态上,求 的取值几率和平均值。
解:将三个自旋分量算符代入自旋算符的投影 中,得到其矩阵表示为
(1)
设
的本征值为 ,则其满足的本征方程为
(2)
相应的久期方程为
(3)
解之得
(4)
上式表明,自旋在任意方向的投影的本征值总是 。
为了求出 相应的本征矢,将其代入(2)式,得到
(5)
再利用归一化条件
(6)
得到归一化的本征矢为
(7)
同理可以求出 相应的本征矢为
(8)
在本征态 上, 的取值几率为
(9)
的平均值为
(10)
同理可以求出,在本征态 上,
的取值几率为
(11)
的平均值为
(12)