例题7.3
自旋为 
的粒子处于线谐振子位势中，若 
时，粒子的状态为
其中， 
是线谐振子的第 
个本征态。求 
时粒子的波函数、能量的取值几率与平均值。
解：求解粒子满足的定态薛定谔方程
（1）
因为哈密顿算符与自旋变量 
无关，所以，可以将 
分离变量，即
（2）
其中，写成函数形式的自旋波函数为
（3）
而 
是线谐振子的解。于是，得到
（4）
应该注意到，在计及自旋且哈密顿算符不含自旋变量时，粒子的能量对自旋磁量子数是二度简并的。
将 
归一化。
（5）
于是，有
（6）
或者，直接由
（7）
得到（6）式。归一化后的波函数为
求出 
向 
展开的展开系数。
（9）
写出
时的波函数
（10）
求能量的取值几率与平均值。
首先，在
的状态中，
；
（11）
（12）
其次，在
的状态中，由于，
（13）
所以，哈密顿量为守恒量，它的取值几率与平均值不随时间改变，与
时的结果是一样的。
以上求解过程是在自旋波函数为函数形式下进行的，当然，也可以在矩阵形式下求解此问题。自旋波函数的矩阵形式为
（14）
（15）
能量的平均值为
（16）