例题7.5
设总角动量算符为 
，记算符 
的共同本征函数为 
，当 
时，
1.
写出 
的矩阵表示，并求出其共同本征矢 
。
2. 若体系处于状态
，
求同时测量 的取值几率；在 
状态上，测量 
得 
时，体系处于什么状态上；在 状态上，计算 
的平均值。
解：当
时， 
，设三个本征矢分别编号为；
（1）
在自身表象中为对角矩阵，对角元是其本征值，故
（2）
在 
的简并子空间中，利用
（3）
求出 
的矩阵元为
（4）
（5）
于是，得到
（6）
满足的本征方程为
（7）
满足的久期方程为
（8）
进而得到
（9）
于是，有
（10）
将其分别代回（7）式，得到相应的本征矢
（11）
为了求出 
在
状态上的取值几率，需要把
向
的本征态展开，利用（11）式的前两个公式得到
（12）
由上式可知，同时测量
的取值几率为
（13）
（14）
在
状态上，测量 
得
，状态由
变成
的本征态 
。
在
状态上，由升降算符的作用使磁量子数改变 
可知，算符 
的平均值为
（15）