§7.
3 升降算符
升降算符在角动量计算中起着重要的作用，尽管它本身并不直接描述任何可观测量。
一．定义
，
（7.3.1）
其中 
为任意角动量算符， 
分别称为升，降算符。由（3。1）式可得
， 
。
（7.3.2）
二.性质、对易关系及有关公式
容易由定义得到：
（7.3.3）
（7.3.4）
（7.3.5）
（7.3.6）
（7.3.7）
（7.3.8）
三.
的作用
用 表示任意角动量，用j表示 
的量子数，用 
表示 
的量子数，则 ， 共同本征函数可表示为
。下面证明
（7.3.9）
可见，将算符 作用到 
上后，将会得到一个新得本征态矢 
，此态矢的量子数 
不变，但磁量子数 将分别递增和递减1，变为 
。这也是 称为升.降算符的原因。这一公式在应用上相当重要。为了证明该式，让我们分两步讨论。
第一步：证明公式 
成立。其中 
为归一化因子。
以 作用在 
上，并利用（7.3.5）式的第一式，得
（7.3.10）
由上式可以看出 仍然是 的本征函数，但对应的磁量子数已不再是 ，而是 
了。因此 与 至多相差一常数因子，即
（7.3.11）
类似地，有
（7.3.12）
第二步：求归一化因子 
。由
，（7.3.11）及（7.3.7）式得
（7.3.13）
由
及归一化条件，即得
，
（7.3.14）
类似地可得
（7.3.15）
为实数。从而（7.3.9）式得证。