§7
例题选讲
例1
升降算符应用举例
（1）若 
的量子数为 
，则
的量子数 
最大为
。最小为
证明
设
最大者为 
，最小者为 
。由（7.3.8）并考虑到
及
，
可得
（1）
（2）
另一方面
，
。
（3）
比较（1）－（3）得
（4）
由此得
（5）
（2） 
在 
上的平均值为零，即
证明
利用（7.3.2）式、（7.3.11）式及本征函数的正交条件可得
（6）
同理可证 
的平均值为零。
（3） 
在
上的平均值为
（7）
证明：首先由（7.3.11）和（7.3.12）容易证明
（8）
利用（7.3.2）、（7.3.7）及（8），可得
（9）
同理可证
（10）
此外，由（6），（9），（10）顺便可得
时，
及 
在
态上的不确定性最小。