例题8.3
耦合谐振子的哈密顿算符为
若
，试用微扰论求其第一低激发态的能级与本征函数。
解：若选
（1）
则
（2）
已知 
的本征解为
（3）
令
（4）
则零级近似能量本征值可写成
（5）
为了看清能级的简并情况，将 
与 
的关系列在下面：
（6）
显然，第
能级的简并度
（7）
第一激发态是 
，简并度为 
。在简并子空间中，相应的零级近似解为
（8）
能量一级修正满足的本征方程为
（9）
相应的久期方程为
（10）
利用公式
（11）
式中，
（12）
可以求出微扰矩阵元
（13）
而
（14）
将（13）和（14）的矩阵元代入久期方程（10），得到
（15）
显然，能量一级修正已使第一激发态的能级劈裂成两条能级，即将二度简并完全消除。
为了求出近似本征矢，将 
代回本征方程
（16）
得到
（17）
由归一化条件可知
（18）
于是，得到相应的零级本征矢为
(19)
同理可得， 
相应的零级本征矢为
(20)