§8
阅读材料(苏汝铿,量子力学,
第250页,复旦大学出版社
1990)
1．重新组合后的零级波函数相互正交的证明
经过重新组合后的零级波函数 
相互正交，满足
（8.2.9）
现在来证明（8.2.9）式。将由久期方程解出的根代入（8.2.7）后，有
（8.2.10）
它的复共轭式是
.
（8.2.11）
为计算方便起见，将（8.2.11）的脚标 
与 
互换，并记 
为 
，得
.
（8.2.12）
以 
乘（8.2.10），并对
求和；以 
乘（8.2.12）式，并对
求和，再将所得的两式相减，注意到 
，得
（8.2.13）
可见，若简并完全消除，无重根时， 
，必有 
。若仍存在简并，虽则对于与 
重根对应的波函数，我们并不能由（8.2.13）直接证明它们正交，但总可利用对简并波函数正交性相同的讨论，选取适当的组合使这些简并的波函数正交化。综合上述，在适当选择归一常数后总能得出 
,即重新组合后的零级波函数 
彼此相互正交.
用微扰论求解时，若能利用对称性选择零级波函数以尽量使 
对角化，可以使讨论和计算简化。