由(9.4.8)可得 
，代入(9.4.4)得
(9.4.11)
将(9.4.11)右边第一项与(9.4.2)比较，并考虑到(9.4.4)可得
(9.4.12)
(9.4.13)
(9.4.14)
由 
和(9.4.14)得(9.4.9)。考虑到 
的正交归一关系
可得总散射截面
(9.4.15)
这样就证明了(9.4.9)和(9.4.10)。
3．讨论
A.
由以上推导可看出，入射波(9.4.2)中的第 
个分波经散射势场作用后，产生相移，由原来的 
变成为 
。 
由方程解在 
时的渐进形式确定。
B.
显然 
时， 
。设无散射的第
个分波的一个确定位相位为 
时， 
。相应的散射波中第
个分波的这个位相为 
时，如果 
，则 
，说明 
是吸引势，即 
；如果 
，则 
，说明
是排斥势，即 
。
由(9.4.9)和(9.4.10)可看出，微分散射截面和总散射截面与 
的符号无关。
C.
分波法的适用条件。实际计算中不可能对无穷多个分波求和。因此分波法也有其适用条件。
越大，角动量越大，从经典物理看，入射粒子距离散射中心也就越远，受散射中心作用也小。因此，
越大，
应越小。当 
时，就不必考虑比
更大的分波了。入射粒子的动量是 
。设
的作用半径为 
，则当 
，即 
就不必考虑比 
更大的分波了。由此可见，分波法适于低能或作用半径很小的势场。
4．光学定理
总截面 
正比于弹性散射部分向前散射振幅的虚部，即
(9.4.16)
证明：由(9.4.14)和(9.4.15)可得，
这是一个普适规律。其物理解释是，总散射截面是入射波减弱的量度。而这种减弱是入射波和向前散射波(二者同方向)相消干涉结果。向前散射波振幅越大，消掉的入射波振幅也越大，入射波剩余振幅就越小，因而被散射部分（包括非弹散射和吸收截面）就越大。
5．
例题
设入射粒子被钢球方势垒
(9.4.17)
散射，考虑低能散射，计算其 
波的散射截面。
解：以 
为界，将位势分为两个区域，相应的方程分别为
(9.4.18)
式中 
。方程(9.4.18)的解为
。
(9.4.19)
利用波函数在 
处的连接条件可知
。
(9.4.20)
于是，散射截面近似为
(9.4.21)
按经典物理，钢球散射截面显然是 
，这是很直观的。而按量子力学，低能（即长波）散射却是钢球球面。按经典物理，这是不可理解的。而按量子力学，这同样是很直观的。因为伴随低能入射粒子的、波长很长的德布罗意波有很显著的绕射作用，结果钢球完全被入射粒子的德布罗意波包围，粒子可以碰撞到钢球球面的任意点，这样，总散射截面自然就是整个球面了。这一散射清楚地说明了经典力学和量子力学散射的差别。