10.如果
，是否
一定没有共同的本征态？
解：由
可知，
不仅仅与
有关，而且与所处状态有关。如果
，则尽管
，
仍可有共同本征态。例如，
，但
和
仍可有共同本征态，例如
。只是这时
的共同本征态不可能形成完备本征函数系。但如果
，则容易看出，此时
就不可能有共同本征态。
11.如果
，是否
的本征态一定是 
的本征态？
解：不一定。例如
是
的本征态，但不是
的本征态。
12．已知算符
满足
，证明 
，并在 
表象中求出 
的矩阵表示。
解：由题中所给条件可知
（1）
设算符 
满足的本征方程为
（2）
则有
（3）
由（1）式可知
（4）
显然，有
（5）
在自身表象中，算符 
的矩阵形式为
（6）
设算符 
在
表象中的矩阵形式为
（7）
利用
（8）
得到
（9）
再利用
（10）
又得到
（11）
只有,
否则，算符
。
最后，根据条件
即
（13）
可定出
（14）
在 
表象中
的矩阵表示为
（15）
其中， 
为任意实常数。