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位置：第五章第四节

3、数学命题的证明

数学命题证明的教学包括以下几个方面: 

⑴分析命题证明的思路。在分清命题的条件和结论的基础上,探索命题证明的途径,分析命题证明的思路。让学生从记忆中提取有关的概念、定理、公式和证题的经验，对各种可能的证明思路提出假设,通过分析,选择最可能成功的假设,再进一步探索从条件到结论的各个中间环带。如果不成功,那么转向选择另一种证明思路假设,直到可以沟通从条件到结论的途径。

⑵学习命题证明的表述。命题证明的表述不仅让学生学会命题证明的逻辑表达,而且更重要的是调整完善推理程序。在有些情况下,学生掌握了命题证明的思路，以为学会了命题的证明,但是在具体表述时，发现实际上还行不通。这是因为命题证明的思路是证明的方法、证明的途径，是一种简缩的思维,是跳跃式的,有时可能产生错误,在表达时会暴露出来。即使是正确的思路，也要对具体证明步骤进行修正和补充。

⑶揭示命题证明中的数学思想方法。对于命题的证明不仅要学会分析命题证明的思路，命题证明的表述,更重要的是要掌握命题证明中的数学思想方法,这是命题证明的精髓。教师在教学时要注意渗透,并在小结时具体点明,这样有利于提高学生的数学素养。       

4、数学命题的应用

⑴数学命题应用的教学包括以下几个才面

①定理和公式成立的条件与使用的范围。学生在学习定理和公式时,往往忽视它们成立的条件和使用的范围,产生各种错误。因此在进行定理和公式应用的教学时,应特别强调定理和公式在一定条件下与一定的范围内才能使用。

②定理和公式的各种基本应用。对于定理和公式所解决问题的几种基本类型,要通过例题分别加以说明。

③定理和公式的灵活应用。在掌握定理和公式的正向运用的基础上,掌握它们的逆向运用,进一步还要掌握它们的各种变形的应用。              

    ④ 定理和公式的引伸和拓广。根据学生的水平，适当对所学的定理和公式进行引伸和拓广,以拓宽学生的视野，加深对定理和公式的理解，提高创造性思维能力。

（2）命题应用的教学设计特别要重视以下几点: 

①例题的设计。例题的作用在于巩固和运用所学的数学命题。在教学中要注意命题条件的验证,命题的合理应用。例题应适量选择,量过少不足以巩固命题学习,量过多又显得重复与单调，不能引起学生的兴趣。例题的设计应当是递进的，遵循由易到难,由单一到适当综合,由无干扰到有干扰的原则。还要包括综合题、实际应用题和探索性、创造性、开放性问题的设计等。

②练习题的设计。除了例题讲解外,还需辅之以适量的课堂练习，让学生有操练的机会。课堂练习一部分可以设计为模仿性的,与例题相类似,也应有一些变化让学生有思考的余地。既有基本训练题,有巩固知识的题目,还要有综合题。另外还要设计一些逆向应用和对定理、公式引申和推广的问题。

三、数学问题解决教学(案例)

1、情境的设计

创设情境是数学问题解决教学过程的重要环节，情境的设计要有利于激发学生的求知欲,有利于培养学生的探索精神,有利于培养学生的自信心，有利于培养学生的合作精神。常见的有以下几种情境:

（1）问题情境

教师要为学生创造一个适合自己寻找知识的意境,使学生经常处于“愤”和“悱”的状态,引导学生,自己去做力所能及的事。教学过程中，先与学生一起对问题进行观察和磋商，逐渐造成这种情况——这个问题学生急于解决,但仅利用已有的知识和技能却又无法解决,形成认知冲突，这就激发了他们的求知欲。这个“问题”可以来自数学知识内部,也可以来自数学知识外部,尤其可以来自现实生活。在设计时,可根据所教的知识内容和学生的实际情况来拟定问题,要比较多地关注发生在学生身边的问题,融生活趣味和知识趣味于一体的问题。

问题情境必须与学生在数学上和文化上的成熟程度和经验相适应。在设计时,要让学生去体验真正的问题，真正的问题是一种情境,它是比较复杂，具有一定的挑战性的尚未解决的问题；同时，还要注意层次性,使对简单情境下的探究会推广到另一个情境,或可用多种水平加以处理。问题情境还可以用口头、文字、事物、图画、图像形式以及计算机方法进行模拟。

（2）情绪情境

创设情绪情境能培养学生的意志和自信心。当学生不能解决所提问题时，可-先设计一些他们当时能解的问题让他们做,并在他们取得初步成功时积极鼓励他们,这时体验到的喜悦,可以激励学生为取得即将到来的胜利喜悦而克服新的困难。当一些学生不想解题,甚至不愿正确理解这个问题时，教师要设法激之起学生的好奇心，给他某种解题愿望，同时应当给学生一些时间,使他下定决心来解决问题；当学生求解那些对他来讲并不太容易的问题时,要让他学会败而不馁,学会赞赏微小的进展,学会开拓思路并积极进取。

（3）教室环境

教师应当创设教室环境以利于培养学生的数学才能，这样的教室环境应该是：尊重和重视学生的想法和观念,为探索和掌握数学思想和数学知识提供必要的时间；为数学技能的培养提供必要的相关资料；鼓励学生每一个微小的进步,而切忌责怪学生；鼓励学生独立地学习；鼓励学生积极参与小组或班级学习活动,使班级形成一个彼此合作的智力团体。在课堂教学中,教师应当扮演成顾问、辩论会主席和对话人等的角色,而不只是讲授者和权威；教师应当鼓励学生用口头或书面的形式表达他们自己的想法，学会以合作的方式解决问题。

2、问题的设计

问题的设计是数学问题解决教学过程设计的关键,必须设计一些“好问题”,所谓“好问题”应该具有下面一些特点:

（1）一个“好”的数学问题应当具有较强的探索性，它要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造性。这就如波利亚所指出的：“我们这里所指的问题，不仅是寻常的，他们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动力和创造精神。”这里所提出的“探索性”的要求是和学生的实际水平相适应的。

（2）具有一定的现实意义或与学生的实际生活有着直接的联系，有趣味和魅力。从而，使学生能逐步认识数学的价值和数学美，感到数学学习是一种有意义的活动，而这对于调动学生学习数学的积极性是十分重要的。

（3）具有多种不同的解法或多种可能的解答，即开放性。一个好问题常常可以用许多种不同的方法来解决，问题解决的过程可以在代数解答中、几何解答中、甚至可以在三角函数中寻求到解答。这样的问题可以使学生明白通常有许多途径去解剖一只“数学麻雀”，使学生明白解题不仅仅是简单地得到一个答案，而是发现数学的关联和思想。对于问题解决过程来说，用三种方法解答一个问题，比解答三个问题而每个问题只用一种方法更有价值。

（4）具有一定的发展余地，可以推广或扩充到各种情形。也就是说，希望给学生的问题能够引出新的问题和进一步的思考，成为丰富的数学探索活动的起点，给学生提供“做数学”的机会。一个好问题并不一定在找到满意的解答时就结束，所求的答案可能暗示着可以对原问题的各部分作种种变化。如把问题从二维平面几何的问题变为三维空间的问题；固定一个变量而改变另一个；将问题的特殊情形推广到较一般的情形等。

（5）具有一定的启示意义，蕴涵重要的数学思想方法。也就是说，不仅问题本身是有价值，而且解决问题所涉及的思维模式也同样有价值。它有利于学生获得有关的数学知识和思想方法，也能为问题解决策略的具体运用提供良好的素材。从而，这就不应是所谓的“偏题”“怪题”。目的是希望这些问题能够把学生引向真正的、诚实的、有价值的数学。

（6）问题的表述应当简单易懂，容易接近。即问题解决入口处不需要多少形式的背景、特殊的知识和方法，教师用不着去提供很多的背景信息，学生也不会被复杂的背景所限制。这就如同希尔伯特所指出的：“这里对数学理论所坚持的清晰性和易懂性，我想更应以之作为一个堪称完美的数学问题的要求。”