3.2.1 多变量差分方程

我们先来看一个实例。设在一场战斗中，交战双方为 军和 军， 军的每一个单位一次

可摧毁 军的 个单位，而 军的每一个单位可摧毁 军的 个单位。设 是经过

次战斗后 军所剩人数， 同样解释，这样就产生了两个命运相关的变量，如何用它们来构成数

学模型？我们从分析一次战斗开始。

一次战斗后 军被消灭的单位数是 ，所以一次战斗后 军所剩的力量是：

同理

这是两个有关联的差分方程，每个都不能独立求解，当然当给定了 ， 以及 后 , 可

以交替地用上述方程求出 等。但这种方法较繁琐。一种常用的方法是采用变量置换，使得

式子中只含一个变量 .就本例，可 从第一方程推出：

  

即得到                      

这是一个二阶差分方程，只要给出 和 ，通过连续的迭代，最终可将 求出。对求第

个值 的数学解的方法也已推导出，它常被用于生物学的模型求解中，在本章后面，将结合实例给

出这种例子的几种求解方法。