教学内容：《现代小学数学》第八册——无限循环小数

教学目的:

1.使学生理解无限循环小数的概念,掌握循环小数的简便记法。

2.使学生具有判断纯循环小数和混循环小数的能力。

教学过程:

1.检查复习。

(1)把下列分数化成小数。

学生逐个回答后教师提问。

师:如何判断一个分数能否化成有限小数?

生:一个分数的分母只含质因数2或5,这个分数才能化成有限小数。

师:你知道这是为什么吗?

生:当分母只含质因数2或5时,根据分数的基本性质,分子、分母同乘以2或5,就能得到分母是10、100、1000的分数,也就能化成有限小数。例如 17/50 ,分子、分母同乘以2,就是34/100 化成小数是0.34。

师:那么不能化成有限小数的分数,可以化成什么样的数呢?今天就来研究这个问题。

(这种自然地过渡,不仅符合事物之间的内在联系,也具有激发学生探讨新问题的功能。)

2.新课。

(1)关于无限循环小数。

师: 8/11、2/9、5/12 和 9/55 都不能化成有限小数,我们看一看,究竟能化成什么样的小数呢?拿 8/11 来说,根据分数与除法的关系,可以列成什么样的算式?

生：8/11=8÷11。

教师板演：

师:继续除下去会怎么样?

生:还是先商7,再商2。

师:你怎么能肯定会得出这样的结果呢?

生:开始时商7余的是3,商2余的是8,后来又商7余3,又商2余8。如果再除还得先商7,再商2。

师:继续除下去商一定重复,简单地说是从哪儿看出来的呢?

生:余数重复出现。

师:8/11 化成小数是0.7272……,有多少个“72”呢？

生:有无数个。

师:既然是无数个,我们可以怎样表示?

生:使用省略号。

教师要求学生分组计算,求出 2/9、5/12 、9/55 化成小数的结果。学生求出

2/9 =0.22……
5/12 =0.4166……
9/55 =0.16363……
教师逐个提问省略号所表示的是什么。

师:不能化成有限小数的分数,化成的小数可以用省略号表示,表示它们的位数是无限的。这样的小数,由于位数是无限的,所以叫无限小数。

教师板书:无限小数

师:无限小数的小数部分有什么特点?

生:有的是一个数无限循环。

生:有的是两个数无限循环。

师:小数部分一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这样的小数叫无限循环小数。

练习：下列哪些小数是无限循环小数?

(1)0.999……

(2)4.1677……

(3)52.052052……

(4)3.212121

(5)3.1415926

学生回答后教师提问。

师:前三题,大家判断一致,现在研究4、5两题。第4题为什么不是无限循环小数?

生:第4题是有限小数。

师:第5题呢?

生:小数部分没有重复的数字,所以不是无限循环小数。

(抓住无限循环小数的本质属性设计练习,可以克服学生理解中的片面认识。题目虽少,但作用甚大。)

(2)关于循环节及循环小数的简便记法。

师:小数部分依次不断重复出现的数字叫循环节。例如:

0.7272……的循环节是什么?

生:72。

师:0.222……的循环节呢?

生:2。

师:0.4166……的循环节呢?

生:6。

师:0.16363……的循环节呢?

生:63。

师：3.2041041……的循环节呢?

生:041。

随着学生的回答。教师把每个数的第一个循环节用彩色粉笔框起来。

师:循环小数可以这样表示,把循环节写出两遍或三遍,然后点上省略号。不过这样写比较麻烦,简便的写法是循环节只写一个。像3.2041041……,循环节只写一个是3.2041,这样写行吗?

生:不行,它们并不相等。

师:又想简便,又要数值不变,可以这样写：在循环节的首位和末位上各记一个圆点,也就是循环点。例如3.2041041……用循环节的方法表示是 ,读作三点二零四一,零四一循环。

师20.16363……怎么样简写?

生:写成零点一六三,六三循环。

师:我们再练习几个,用简便记法表示下列各循环小数。

0.00505……

8.1010……

3.101101……

学生在本上练习,个别人写在玻璃片上,然后教师通过幻灯进行订正。

师: 用一般方法又怎么写?

生:0.0202……

(3)关于纯循环小数与混循环小数。
师:(指着

四个循环小数提问。)小数部分有没有区别?

生:有的从小数点后面第一位起循环,有的从第二位起循环,有的从第三位起才循环。

师:根据这种区别又可把无限循环小数分为两种:一种是从小数点后面第一位起就循环的,叫纯循环小数(板书:纯循环小数)；另一种不是从小数点后面第一位开始循环的,叫混循环小数(板书:混循环小数)。

也就是说,分数化成小数,有两种情况,一种是有限小数,另一种是无限循环小数。而无限循环小数,又有两类,一类是纯循环小数,另一类是混循环小数。

师:谁能举几个纯循环小数的例子?

生:

师:谁能举几个混循环小数的例子
生:

师:你们知道什么样的分数能化成纯循环小数,什么样的分数能化成混循环小数吗?

(学生有些困惑)

师:一个分数能否化成有限小数,我们看哪儿?

生:看分母。

师:现在还来分析一下分母。

(学生分组议论)

生:分子、分母互质的时候,能化成纯循环小数。

生:不对,5/12 的分子分母也互质,可化出来的是混循环小数。

生：化成纯循环小数的分数,分母只含2、5以外的质因数；能化成混循环小数的分数,分母含2或5中的一个,还有其它的质因数。

师：化成纯循环小数的分数,分母只含2、5以外的质因数,能化成混循环小数的分数,分母除含质因数2或5外,还含有其它的质因数。

分母的质因数数中有2或5,就存在着把分母化成10、100、1000的条件,又有其它质因数,就又存在着分母化不成10、100、1000的条件,所以一定是化成混循环小数了。

师：现在我们来判断一下,下列各个分数能化成纯循环小数还是混循环小数。

5/14、5/2、4/15、6/13 学生回答后,教师小结。

师:这节课学习,无限循环小数,认识了循环节以及循环小数的简便记法,并且也知道,无限循环小数又可分为两类。都掌握了吗?现在我来考考你们。

1.下列各数能否用等号连接?请用反馈板来回答。

① 8.5024024……=

② 4.00707……=

③ 5.043043……=

④ 0.32525……=

学生用反馈板逐个回答。问题主要表现在第③题上,教师又组织学生讨论,大家一致认识到5.043043本身是有限小数,所以与5.043并不相等。

2.下列各数都是纯循环小数吗?请用反馈板来回答。
①

②

③

④

　

(使用反馈板是个好方法,该班学生每人有2块,一块标明“√”,一块标明“×”。在判断练习中,学生的认识立即用反馈板表明出来,教师也就马上掌握了学生的理解状况。只有及时反馈,教师才能根据实际情况,调整教学进度或改变教学方法,以争取达到最佳的教学效果。)

3.质疑。

师:这节课我们把分数化成小数的另外一种情况研究完了。上节和这一节,所研究的中心都是分母含质因数的状况。清楚了这一点,也就提高了我们的认识能力和判断水平。大家还有什么问题?

生:

为什么不写成 ？
师:

也就是0.8080808……,写成 ？可以不可一？
生:可以。

师:一个纯循环小数,可以写成混循环小数。当然,像 最好还是写成 。

生:分数化成小数有两种情况,一种是化成有限小数,另一种是化成无限循环小数。能不能化成无限不循环小数呢?

师:你们说呢?(学生思考一下后教师接着讲)分数化小数时是用分子除以分母。做除法时,余数一定要比除数小,也就是说余数的数值是有限的。例如8/11,当8除以11时,余数最大是几?

生:是10。

师:就算前面的余数表示重复,第11次余谁呢?余数肯定就重复了,余数一重复,商也就重复了。所以不可能得到无限不循环小数。

(学生问得好,教师回答得也好,好就好在是在师生共同的研讨之中。)