学习作业初探
小学数学 “ 开放性问题解决 ”
上海师范大学小学教育研究所 杨庆余
研究的意义
长期以来,在教育价值观方面,我们的小学数学教育追求的是个体省力的优异性和学问的卓越性,因而很容易成为一种游离于社会现实的、封闭的、自我积累与发展的过程。学生似乎只需要掌握牢固的数学知识和熟练的解题技能,而并不需要了解知识的发生与发展过程,探究知识对社会的发展和自我适应的价值,掌握从观察、探究、处理日常的社会生活各种事物现实规律、特征和问题过程中而获得的一般方法。
学生的这种数学的认知积累好比不断地在个体与社会之间砌一堵墙,随着数学知识砖块叠砌的越高,个体与社会的割裂似乎就越严重。而我们应该知道,教育的价值在于使知识社会化、使个体社会化。即使个体能独立地面对社会并获得良好的生存与发展。所以,我们有必要让学生在获得必要的科学的数学知识与技能的同时,了解数学知识的发展及其对社会的价值,认识数学知识研究与探索的基本方法和途径,提高参与社会生活以及进行决策的基本能力。
这样看来,我们必须努力创设一些新的学习情境 ( 课题 ) ,使学生所面临的不仅仅是一个个需要设法认知的抽象的数学事实,而更重要的是一个个需要设法解决的实际的数学问题。即不仅是将学习看作是一个知识的积累过程 ( 传统文化的复制 ) ,更是看作一个科学的探索过程 ( 新文化的创建 ) 。
二、小学数学 “ 开放性问题解决 ” 学习作业的目标
所谓 “ 数学问题解决 ”(Mathematical problem soliving) 就是指那些没有合适的和现成的模式、程序、必须要通过探索和尝试才能获得解决的作业 ( 但不是一般意义下的 task ,而是指 Question 或 problem) 。小学数学 “ 开放性问题解决 ”(Open—ended problem solving) 的学习作业,是指那些在儿童自己的社会生活的实际中真实存在的并能够通过运用已有的经验进行探索与发现而获得解决的现象与事实,同时这些现象与事实的探索与解决是以其操作性、合作性、探究性和开放性为特征的。而问题解决的结果为开放的 ( 不确定的或不唯一的 ) 是其最本质的特征。通过对这类学习作业观察、假设、操作、反复探索与尝试解决,学生将可能获得如下一些方面的发展：
① 提高对日常的事物现象用数学的经验、思想与方法进行观察、推测、尝试、计划并合情合理地思考的意识与能力；
② 懂得数学的价值,了解用数学方法来处理日常生活中发生的事件与现象的优越性,学会用数学思想方法来处理这些事件与现象；
③ 学会数学交流,能用数学语言解释自己研究与解决问题的现象、计划、过程和结果；
④ 掌握对日常生活中存在的各种信息的采集、整理、辨析及其处理与运用的能力,能用数学的方法对它们进行考察、区分、组织和模型建构,并有可能获得新的信息,获得问题的解决,获得新的问题等；
⑤ 能在学习中获得积极良好的情感体验,提高参与社会生活以及在社会生活的探索、发现和改造等活动中主动进行决策的兴趣、意识和能力。
三、小学数学 “ 开放性问题解决 ” 学习作业的基本模块
如果以 “ 开放性 ” 数学问题解决课题作业的特征及其小学生已有的经验和认知结构为主要视角,并假设以问题解决的内容以及主要过程为基本变因,我们尝试将学习作业编制为如下几个主要模块：
1 ．题解性学习作业 是一种主要指向于策略性学习的开放性学习作业,即指较简单的实际的操作性问题解决的课题,包含需要仔细观察并重新建模才能获得问题解决、综合运用所学知识进行尝试性解决的等等结果不固定问题。
例如： “ 班级在进行跳绳的体育活动,小民与几个同学想用绳子测量一下操场的长度。他们手上只有一根集体跳的长绳和一根单人跳的短绳。已知他们用长绳几乎量了 18 次,而且短绳差不多量 45 次。你能否估计一下他们约操场大概有多长 ?”
又如： “ 怎样将一个平行四边形分成五个梯形 ? 怎样分成七个梯形 ?”
2 ．计划性学习作业 是一种主要指向于预测性学习的开放性学习作业,即在社会生活中的一些儿童适应性的问题解决的课题。包含随问题或实际情境的变化而获得不同结论的问题解决、需要用数学的知识和方法进行简单的计划性的预测和规划的问题解决等等的问题。
例如： “ 小明全家搬新居,他得到一间房,长 4 米 ,宽 3 米 ,高 2 ． 8 米 ；有一扇高 2 米 、宽 0 ． 8 米 的房门,另有两扇长宽各为 0 ． 8 米 和 0 ． 6 米 的玻璃窗。
现小明的父母同意由他选择粉刷房间的涂料和贴房顶的发泡培纸对房间进行装饰,但总价不能起过 X 元。小明考察后发现：
市场上有三种涂料：一种为树脂漆,每公斤是 XI 元,而标准每公斤可以涂 y 1m2 ；一种是有光涂料,每公斤为 X2 元,而标准每公斤可以涂 y 2m2 ；一种是油漆,每公斤为 X3 元,而标准每公斤可以涂 y3 ；三种涂料的包装分别是 0 ． 5kg / 桶、 1kg / 桶、 1 ． 5kg / 桶；
同时发现市场上有三种粘贴房顶用的高发泡墙纸,包装都是 50cmx 10cm ,价格分别为： 22 元／卷、 40 元／卷和 55 元／卷。
此外,他父母同意由他选择安排房间所需要的家具。现已知：
市场上有两种书桌,它们的长宽高分别为 120cm × 80cm × 75cm 和 80cm × 60cm × 70cm ；
有三种床,长宽高分别为 100cmx200cmx 35cm 、 120cm × 200cm × 40cm 和 150cm × 200cm × 45cm ：
有两种椅子：带靠背约长宽高为 60cm × 45cm × 45cm ,无靠背约为 40cm × 35cm × 40cm ；
而书柜则有四种,它们的长宽高分别为： 40cm ×20cmx 90cm 、 60cm × 20cm × 120cm 、 50cm × 25cm × 105cm 、 50cm × 25cm × 100cm ：
有两种衣柜,长宽高分别为： 40cm × 300cm × 120cm 和 50cm × 30cm × 100cm ；
三种电视柜,长宽高分别为： 60cm × 45cm × 50cm 、 60cm × 50cm × 50cm 和 80cm × 45cm × 60cm 。
学习作业： ① 小明将可能选择什么方式和什么材料装饰房间 ?
② 小明将如何选择家具安排自己的房间 ?
③ 作出小明装饰房间的计划并画出安排家具的草图,同时简要说明理由。 ”
3 ．研究性学习作业 是一种主要指向于过程性学习的开放性学习作业,即需要采用某些一般性的数学的思想方法 ( 抽象、概括、化归、模型、映射等等 ) 进行探索性、研究性问题解决的课题。含有各种信息同时混杂交融 ( 当信息不足需独立的补充再予以解决、有混淆信息需独立的辨析再予以解决 ) 的而需要获得问题解决、需要用一定的推理、说明、论证等方法进行研究性问题解决等等的问题。
例如： “ 下面是小兵在参加跑步比赛的起跑前,自己的位置及目的地的位置示意图,假如小东的跑步速度和小兵一样,那么,小东应站在什么位置,才能使他们同时起跑后能同时到达目的地 ? 请画出示意图,并标明他们各自的位置 ? 在标因的过程中,你何时进行了对称 ?
何时进行了旋转 ? 最终你发现了些什么 ?”
又如： “ 班级有 58 位同学到公园的租船部去租船划,那里有 5 人座的小船,每船每小时要 40 元；有 7 人座的大船,每船每小时 50 元。想一想,可能有多少种租船的方法 ? 进一步比较一下,在这些方法中,那一种租船的方法最合算 ? 更进一步探究一下,你能否找到一些规律,使我们不用通过大量的计算就能找到最合算的那种租船的方法 ? 在整个研究过程中,你对数学的优越性有了哪些新的认识 ?”
再如： “ 你将怎样把 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 这六个数平均排列在一个三角形的各条边上,使三条边上的数的和都相等 ?( 称作等边阵 ) 经过一段时间的尝试性操作,并将你构建的所有等边阵作一些比较,你会发现一些什么规律 ?”
( 说明：例如：其中一个等边阵中的每一个数字均加上一个相同的数,结果仍构成一个等边阵 )
四、小学数学 “ 开放性问题解决学习作业 ” 的基本特征
1 ．实践过程注重社会性
这就是使我们的小学数学教育成为开放的在对社会探求活动中自我积累和完善过程。让学生在获得必要的科学文化知识的同时,了解知识的发展及其与社会的价值,认识知识探索的方法和途径,提高在社会活动中进行决策和参与改造的基本能力。
这样,我们编制的这些学习作业,就摆脱了根据教师确定的既定认知目标而编制的那些人为的、与学生生活严重割裂的 “ 问题情境 ” ,而使学生能身临其境的感受到数学的优越性以及数学与社会生活的关系,懂得数学的真正价值,提高他们真正参与社会生活的能力。
所以,这些作业,常常不是单凭数学的本身而能获得合理、科学的解决的问题,同时也不是在问题解决中仅仅获得一个结论、一种方法。而是必须结合生活实际,并正确合理地运用个体已有的经验、价值与情感去获得问题的解决,同时获得认识社会的一般方法与策略。
2 ．学习过程注重开放性
我们编制的这些学习作业,不仅其结果是指向开放的,而且其过程也往往是指向开放的。我们的目标不仅仅是为使学生获得某个知识的结论,获得某个经验的再现。而是使学生值得用数学解决日常生活事件与现象的优越性并学会用数学知识、思想与方法去解决身边的实践问题,理解问题的探索与解决常与个体的经验、价值和情感相关,强化对问题探索与解决的学习策略的开放、同时提高他们对问题的探索与解决的思维水平。
例如,对 “ 租船问题 ” ,直接用除法去解决是一种策略,但属于一种低水平的问题解决；用不同与他人的方法去解决也是一种策略,但属于第二层次的问题解决水平；如果已经能主动考虑到采用 “ 置换 ” 的策赂,无疑属于较高层次的思维水平了；当然,如能发现数学 “ 优选法 ” 的一些规律,自然属于更高一层次的问题解决水平了。但是,对学生来说,不仅仅是获得问题的解决,更希望通过对自己问题解决的策略、方法、过程及结果的解决,获得对问题解决一般方法的认识。
因此,在学习过程中,不必宜接去评价学生的问题解决的方法、过程和结果,而是利用 “ 数学交流 ” 的途径由学生自我调整他们的经验、策略和价值观。
3 ．认知过程注重探索性
我们注意到,在当今社会下的学习,决不仅仅是一种文化的传递与复制,更重要的是一种科学与文化的创造。因此,我们在编制课程内容时,强化了学生对问题的探究 ( 策略、方法、手段等等 ) ,也就是说,单凭数学知识的再现无法真正获得问题的解决,必须通过个体一定的探索才能获得问题的发现与解决。并在获得问题解决的同时,获得对社会生活中各种问题的探索、认识、理解与发现和解决的能力。
质言之,我们编制的课程内容,常常需要个体模拟人类对问题探索与发现的基本过程：采集信息、分析处理、数学建模,提出假设、验证结论、问题解决 — 获得新的信息 ( 知识经验、思想方法、解决策略、新的问题等等 ) 。这样才有可能使我们的学生今后能真正面对来自可持续发展的前提下社会各种问题的挑战。
4 ．操作过程注重科学性
数学是科学的有效工具,又是科学的基本语言和模式．数学的认知和发展需要科学的思维和方法,包括：信息处理、假设猪想、反复探索、论证推理、创造想象等等。因此,必须将数学的学习当作科学的认识、发现与发展的过程来操作,即用科学的认识与发现的手段、策略和过程来认识和发现数学,获得数学问题的解决。
所以,我们编制的学习作业尽量避免学生对数学知识机械的认知、简单的再现和盲目的猜测,而是尽量建立在合理的预测、正确的假设、有效的尝试、科学的探究和逻辑的论证上,真正有效地培养学生的基本数学素养。
例如： “ 一个图形有四个顶点,它可能是个什么样的图形 ? 你能否将它画出来 ? 并试图将它们进行分类 ? 同时说说这样分类的理由。 ” 又如： “ 下列有三组数,你如何分别在一组数中任意选取几个数,使选出的数的和为 100? 通过对三组数的操作,你能发现些什么 ?”
4 ； 5 ； 6 ； 8 ； 12 ； 24 ； 25 ； 45 ； 65 ；
3 ； 6 ； 12 ； 15 ； 21427 ； 42 ； 51 ；
9 ； 12 ； 18 ； 25 ； 22 ； 49 ； 54 ； 60 ；
5 ．解决过程注重整合性
学生在 “ 正规课程 ” 中获得的数学认知,因其课程的线性化而常常是块状的甚至是点状的,而人类在社会的现实生活中遇到的问题又常常是整合着各类信息而显综合的。因此,数学的问题解决就必须彻底摆脱 “ 一题、一例、一解 ” 的处方化的模式,还问题情境以多种信息整合的本来面目,以提高学生非线性的思考与探索问题的能力。
例如： “ 小虹的妈妈买来如下一些东西,而她的家里正好有一些大的金子,如果你是小虹,你将用什么方法将这些东西分别装入盘子中？你能否说出,你采用这样分装的一些想法和理由 ?”
( 说明： 可以表示是甘蔗； ○ 可以表示是苹果；
△ 可以表示是水果糖块；
可以表示是饼干； ◎ 可以表示是萝卜饼 )
在这儿,涉及到分类标准的问题,涉及到几何图形的问题；涉及到数形转化的问题；甚至涉及到食物的常识问题；如此等等。其实,随着问题思考的角度、策略、过程与标准的不同,问题解决的途径和结果是开放的,但是,整个问题情境却是由多组信息整合而成的。
6 ．情感过程注重体验性
在学习作业的编制中,我们特别关注学生被激发起的求知冲动以及平衡这种冲动的欲望满足的成功体验。即我们不是简单地将学生封闭在 “ 知 ” 与 “ 不知 ” 的动态平衡上,而是开放到整个个体充分活动的 “ 问题 ” 与 “ 解决 ” 的空间上,使他们在一次一次的问题解决过程中获得一次次的良好的情感体验。
这种情感体验的刺激则来自于：个体探究对好奇性的满足；操作对动手欲的满足；发现对求知欲的满足；解决对表现欲的满足等等。也包括：合作对个体融合与欢快情绪的刺激；成功对个体喜悦与轻松心境的刺激,等等。
同时,我们注重在问题解决的学习过程中,尽可能地采用 “ 合作型 ” 的组织结构与 “ 聚合型 ” 的学习模式。前者指根据不同的学习内容可以是聚块状的,抑或是平面辐射状的等等,目的是加强学习中的合作与互动。而后者指根据不同的学习内容可以是信息传递与交流的模式的,抑或是独立探究与操作模式的等等、目的是使个体能在真正自我特征基础上进行探究而获得届于自己的成功与满足。
( 文见 1999 年第 10 期 )