一、旧人文主义

     旧人文主义派认为纯知识本身就是价值 。数学上的旧人文主义尤其认为， 数学有内在价值， 它是文化的核心， 并认为数学是人类的最高成就、 " 科学的皇后 " 、绝对真理的完美结晶， 是精英或少数天才的产物 。还认为数学的价值在于它的严密性、逻辑证明、结构、抽象性、简洁性和优美。根据这些价值， 又认为数学教育是以数学为目的的交流活动 。旧人文主义的思想体系是分离的相对性绝对主义。

A. 分离的相对性绝对主义观

道德价值系

     分离观点的核心着重于法规和原则 ， 把关注领域和知识对象具体化。其道德原则建立在真实、公平和 " 盲目公正 " 的基础上 ， 对一切人施以公正的判断， 不考虑人的人性和思想。这个观点对应于 Kohlberg 道德发展论的后习俗和原则化水平 。道德决定产生于符合 ( 或能够符合 ) 所有个人的权利、价值和原则中， 它们组成并造就了一个设想为公平和有效益的社会 .(Kohlberg，1981)

     这些价值中含有一些优先的权利 ，" 一个维系社会基本权利、价值和法律契约的权利， 不管是否与某派别的具体原则和法规相抵触 ". 这个价值系的最高阶段 " 承认全人类普遍遵循的道德原则的导向作用 "(Kohlberg，1981).

     根据 Gilligan(1982) 的观点 ， 这些价值属男性主义文化的一个方面， 它们把绝对标准、理性标准及纯推理放在优先地位， 致使判断中对人、对联系性原理的否定 ， 与公正和普遍性原则相背离。

     权利道德以平等为基础 ， 其核心是对公正的理解， 责任道德有赖于公平概念和对实际差别的认识。权利道德表现为平衡自我要求与别人要求间的平等 ， 责任道德表现为对同情和关心的理解 .(Gilligan，1982)

     由于与公正和正义原则相左 ， 旧人文观念的分离性价值还导致对实用性和功利性判断的否定。由于视推理、理性和逻辑为其认识核心， 因此旧人文观念体现了一种纯粹的美 ， 崇尚道德理性 ( 实际上一切理性 ) 中的简洁性、清晰性、纯粹性和客观性 。这种对纯性的崇尚是这一观点的核心特点。

     位于分离 - 联系两极一端的价值如同其他两极一端的东西一样 ， 如社会中的男性与女性， 教学中的学科中心与儿童中心， 艺术和教育中的古典与浪漫等 (Jenkins，1975). 在感觉、表达和主体性上 ， 两极的每一端对应着分离价值的规则、结构、形式和客观性。

认识论

     其认识论从整体上是相对的 ， 承认观点、观点解释和参照系的多元性， 其多元结构的特征构成了分析、比较和评价的基础。根据此价值， 它强调推理、逻辑和理性 ， 将其作为建立、比较和判断知识的手段。重视逻辑、严密和纯性导致了知识本体的内在观 : 知识的结构错综复杂、连贯且自成一体 ， 知识是纯粹的、中性的并超越价值。因此还认为知识的客观性与人和社会对其的重视和关注无关。

数学哲学

     旧人文思想的数学观是绝对主义的 ， 即把数学看作基于理性和逻辑而非权力的纯粹客观知识体。由于逻辑结构的知识观而产生数学等级观。旧人文主义观还认为 ， 虽然数学本身具有内在的美， 但因其有严格、纯粹且优美的体系， 因此数学呈中性且超越价值。同时还相对地认为 ， 应用数学是低级、纯技术性的， 是真理这颗恒星运行中投射的影子。这种观点起源于 Plato，Plato 认为数学代表纯、真、美 ， 数学是绝对的并超越一切的知识 (Brent，1978).

社会论

     该观点之社会论虽然从政治上可能是自由的 ， 但其实质上属保守观和等级观。首先， 该观点提倡为文化而文化的知识， 崇尚西方传统文化知识并极力维护之 。该观点特别注重有教养的中产和上层阶级的纯精英文化， 因而其目的是维护现有文化传统和社会附属结构。等级、阶级社会、承续下来的社会结构等这些想当然的假说 ， 构成上述目的的根本基础。该社会论将 " 绅士 " 文人和 " 普遍大众 " 区别对待 。认为有文化教养的英才适宜于统治社会， 因为大众不具备同等优秀的判断力。还认为社会的主要作用是保护和创造高层文化 ， 它是文明水平的量具。

儿童论

     该观点认为人由先天 " 本质 " 或个性决定 。该观点属轻度的保守主义， 其中反映出小学校传统的儿童观念模式一一儿童是 " 坠落的天使 " 、 " 无水的空桶 ". 然而该观念还认为 ， 在传统文化教育氛围中施加个性培养和教育能够熏陶 " 绅士 " 气质 。这些熏陶即是要不断培植高雅的精神面貌、道德水准以及美学修养。

教育目的

     该观点的教育目的之核心在于传播纯知识、高层文化以及附系价值 。以文化而文化来理解教育， 其目的势必在于造就文化教养之士， 培养符合其文化价值的识别力和鉴赏力。因此旧人文主义的教育目的是精英教育 。少数人才能达到此目标， 其余人或许达不到这个目标， 但可以理想地达到专门为他们设定的目标。

B. 旧人文主义 : 分离的相对性绝对主义

    Williams(1961) 划分的 " 旧人文主义者 " 即是从自我立场出发从事人文主义研究的学者 。这些研究包括自古以来就有的数学研究， 例如 Plato 提倡纯学科研究， 他认为纯学科具有一种力量 ， 能够 " 将灵魂的眼睛对准物质世界中纯粹思想的目标，…… 造就永恒不变的对象和真理这些至高无上的知识 "(Plato，1941)， 还认为只有纯学科 ( 包括数学 ) 有必要去研究 ， 实际知识和 " 人工技艺 …… 都是低级的 "(Plato，1941).

     大约公元 500 年时，Boethius 的 " 自由教育 " 产生了效应， 他规定的教育内容包括语法、修辞、逻辑等三科以及第四科 -- 数学 。这些课程成为 14 世纪末牛津和剑桥等新型大学的课程。牛津和剑桥树立了这些课程的风范， 同时为学生日后走向教会和高层政界获得地位和权力铺设了道路 (Howson，1982).

     文艺复兴时期 ，Aristotle 和神学对学习世界的统治暗淡了， 而 Plato 和其他新思想的影响增强了。于是人文主义者 ， 如学者 Erasmus( 公元 1466-1536) 等， 相信人类智力的力量， 相信伟人著作研究的价值 …… " 正是人文主义取代了神学 ， 现实世界取代了幻想世界， 人成了生活的对象及教育的对象， 人类才与他们的祖先有了区别 .…… 人文主义的进步意义体现在对信条信奉 : 最高尚的人类研究就是对人的研究 ."(Leach，Howson， 摘 1982)

     这里引号所引的内容说明了 " 旧人文主义 " 这一名称的起因 ， 尽管旧传统的主导思想已有近 2000 历史。从牛津基督教堂大学监的档案中我们看到，19 世纪中期大学生的初期教育保持着旧传统的习惯 . " 欧利彼得 " 、 " 维吉尔 " 两出剧 ，Euclid 的两本书以及这类东西， 是大学学生第一年的主要学习

内容 ..( 教育部 ，1958)

     旧人文主义教育传统持续到现代 ， 反映了有文化教养的中产阶级和传统学业精英的主张。其价值体现是为教育的 " 自由教育 "， 因其视教育的作用为培养有文化、有教养的人 。他们反对或鄙视实践和技术知识 (Williams，1961).Hirst 和 Peters 认为旧人文主义的思想在 19 世纪末达到了鼎盛。

     直到 19 世纪 ， 人们才提出教育具有全面培养人的道德、智力和精神发展等特性 .…… 虽然 19 世纪前就有过育人的理想 ， 但 " 有教养的人 " 并不针对那个理想。当今 …… 有教养的人作为我们的理想已经深深扎根 ， …….( 但 ) 对我们来说， 教育已不再是具有狭隘目的的教育了 .(Hirst 和 Peters，1970)

     教师也许以纯职业或经济目的观讲授像科学这样的科目 ，…… 让学生掌握专业知识或为国家需要培养人材， 但没有从人的角度考虑个人的发展，…… 以局限的目的观去教育人应与对人的教育区别开来 . (Hirst 和 Peters，1970)

     旧人文主义的认识核心在于教育和知识是完美的 ， 其目的在于自身， 而不是达到卑微功利的手段。因而 19 世纪著名的旧人文主义者 Cardinal Newman 认为 :

     虽然有用的并不是完美的 ， 而完美的却总是有用的 …… 知识本身可作为目标， 这就是人类思想的法典 : 任何知识， 如果它真是知识的话 ， 都因其自身而成就 . …… 知识不只是外在的东西， 或偶然具有优势， 它不是今天属于我们而明天属于他们 ， 它不可以随时借来， 随心所欲 ; 知识是获得的启迪， 是习性， 是个人财富， 是精神资本 .(Brent，1978)

    Young 把旧人文主义划归到 " 自由或保守 " 观念中 ， 认为它最初来自 " 贵族阶级或中上层阶级 " 的群体， 其教育方针是 " 强调个性的非职业人 --' 有教养 ' 、的人 "(Young，1971).

     还有其他的类似分析 .Raynor(1972) 分析了贵族教育观念 ， 就是把教育看作培养年青人获得绅士和领袖社会地位的手段 .Cosin(1972) 描述了精英主义 ( 保守 ) 观点 : 用传统选择法维系已建立的文化优等标准。

     旧人文主义文化观的主流和创办教育的特点是英国公学传统 ， 其表现是保留传统科目的教学， 持有知识精英观， 认为知识是纯粹的、与生活需要无直接关系， 并习惯于培养贵族阶级和中上层阶级的儿童 (Meighan，1986).

     公学为 " 统治阶级 " 大开方便之门 .…… 公学在很多方面是成功的 .…… 但是公学讲授的科目过多局限于古典知识 ， 不能满足新时代各方面的需要。虽然这些科目在牛津和剑桥、在 Tennyson( 英国桂冠诗人 ) 笔下的广大英格兰形成了高度发展的文学文化基础 ， 但是 " 公学 " 生活的微观世界里更注重个性养成而不是创造性 .(Trevelyan，1944)

     许多赞同旧人文主义观的现代学者更加强调 ， 传统学科和文化的价值远远高于实际技术知识的价值。自由理解高于技术上知道如何去做 ; 当能够自由理解时 ， 具有应变能力的头脑参照哲学的原则和背景意义便能妥善处理日常生活的偶发事件 .(Bantock，1975) 

     理想的大学教育信仰文化、文明和无偏见的批判 ，…… 大学教育之作用在于它是开化教育、文雅教育并自觉 " 使 " 教育成为文化 .…… 叫 ( 它受来自 ) 实施的压力须满足社会、技术、工业和经济的需要 .(Cox  和 Dyson，1969)

     有人认为高层文化中的人文知识有内在价值 。事实上， 人文知识是整个阶级的辩护士。阶级本身具有一种功能， 它维护社会整体文化中针对该阶级的那部分文化 .…… 对于健康的社会 ， 这个特定文化水准的维护， 不仅有利于维护阶级， 而且有利于整个社会 . (Eliot，1948) 这个说法是牛津和剑桥这类循规蹈矩大学中 " 学监 " 派的典型言论 ， 他们抛离实际事实而崇拜纯理性和文化， 是 .P.snow 提出 " 二元文化 " 中的人文主义派 ( 另一派是技术主义派 )(Mills，l970). 旧人文主义观也完全符合课程的 " 阶级 " 观 ， 这种课程观强调结构和理性， 而首先强调的是优秀 (excellence) 和文化 :

     从历史上看 ， 优秀的意义倾向于希腊的 " 教养 "， 强调质量和声誉， 标准既客观又一致 .…… 古典传统意义下 ， 它根本上意味着强调高层文化 .…… 这个文化取决于固定的思想机器、稳定的 " 期望 " 和共同的观念 .(Jenkins，1975)

     旧人文主义认为 ，" 人的精神健康取决于一种不只是为某些特别劳动的教育， 它所取决的教育可以称之为 ' 自由的 ' 或 ' 文化的 ' 教育 ". (William，1961)

    William 举例说明 ， 旧人文主义曾向科学、技术和实际学科的教学发起攻击， 攻击的目标不包括纯数学， 因为他们认为纯数学能够培养纯思维能力 ， 是理性的基础。

C. 数学旧人文主义

     据旧人文主义的观点 ， 包括数学在内的纯知识产生于体力劳动和脑力劳动分工的社会 (Restivo，1985). 在古希腊式的社会中 ， 智力劳动从手工劳动中分离出来， 智力劳动为权力阶级社会、上流社会所占有， 它与社会统治者紧密相关 。千余年的演变使纯数学学习与高层文化和精英自由教育联系在一起。柏拉图学园的大门张贴过告示 : 不懂几何者不得入内 。罗马人 Boethius 让数学占有自由教育中的一席之地， 形成了包括数学在内的四科课程 : 算术、几何、音乐和天文 ， 它与自由教育的三科核心课程相同。自那个课程时代 ( 公元 480-524) 以来， 英国教育受他的教科书的影响又持续了千余年 (Howson，1982).

     虽然数学的命运有了变化 ， 但数学仍旧是整个维多利亚时代公学课程的核心部分， 其中主要是欧几里德原本。由于数学对思维发展的作用 ， 皇家教育委员会 1861 年的报告评价说 :

     数学至少作为一门精神学科的工具在人们心目中享有威信 ， 大学里承认并赏识数学 .( 教育部，1958)

    1868 年 Taunton 委员会批评了几何教学 ， 但是未波及 19 世纪大纲中的纯数学 (Howson，1982). 事实上， 直到 20 世纪应用数学内容才开始进入重点学校的课程 ，50 年代产生了 A 水平的应用数学课程 (Cooper，1985).

     严格训导和实用技术主义要求增加应用知识的压力由来已久 ， 此事实说明旧人文主义尤其是数学上的旧人文主义说客的力量。 20 世纪上半叶， 多数纯理论数学家当然地赞赏纯数学而轻视实用和应用数学 。因此， 传统的逻辑主义、形式主义， 甚至直觉主义的哲学无一涉及数学的应用正如第一章所见， 当时的数学只指纯数学 ，" 真正 " 的数学家以及数学哲学家都不考虑数学的应用。对于数学的本质，Frege 、 Russell 、 Hilbert 、Bernays 、Brouwer 以及 Heyting 除从纯数学知识的角度进行讨论外 ， 未讨论任何东西。

     纯性价值如此渗入 ， 以至使人视而不见 .Hardy 概括了这些价值 :

     粗略意义上 ， 如果说一盘棋的问题 " 无用 "， 就等于说多数最好的数学也无用 ; 很少一丁点数学有实际用途 ， 而这一丁点东西相比来说也是枯燥无味的 .(Newman，1956)

     我从未做过 " 有用 " 的事情 ， 没有心灵的发现， 似乎也没有与世界稍有分歧的发现 .(Newman，1956)

     著名数学家 Halmos(1985) 在一篇题为 " 应用数学是坏数学 " 的文章中阐述了这些观点 ， 文章对 " 知者 " 的纯美意识与 " 做者 " 的实际关注作了区别 。下面这段话反映并引申了这个观点。

     享有盛名的思想优于事实之说可以数学代言 : 数学 。既是最高尚又是最纯粹的思想形式， 数学来自纯粹心灵，…… 对于那些丑陋的应用充满无言的伤感 .(Davis 和 Hersh，1980)

     数学上的旧人文主义赞赏数学的内在美 。不少数学家指出数学的雅致、美妙、协调、平衡和深刻 (Davis 和 He1sh，(1980) 之结果。
很多纯数学家视自己的领域为艺术， 常用 " 美妙 " 表达对同行工作的最高评价 .(Halmos，1981).

     美妙作出最终裁决 : 丑陋的数学在世界上无持久的地位 .(Hardy;Steen 摘 ，1981)

     像其他的旧人文主义一样 ， 数学上的旧人文主义往往也坚持精英观， 崇尚对高层文化有所贡献者。数学家 Adler 认为 :

     数学根本不屑有人对它冷漠 ， 每个时代都会有几个本时代的大数学家，…… 只要跟踪这些少数人的活动， 谁是或谁不是创造性数学家的疑惑便会荡然无存 .(Alder，Davis 和 Hersh 摘 ，1980)

     从一些政府的教育报告如 1938 年的 Spens 报告中 ， 可以看到数学上的旧人文主义及其价值观产生的影响 :

     学校中的所有学科 ， 也许不包括古典学科， 只有数学受教育的附属目的而不是基本目的的影响最大， 且强调外在价值而不是内在价值最多 。过去几乎根本不是用一般的思想方法讲授数学，...... 虽然功利主义有时这样做 ( 即使很粗浅 )， 但却忽视了值得重视的真理一一实际数学是有益于文明人的重要探索和活动 ，…… 我们相信， 只有当教师把教数学看作教音乐和艺术一样时， 学校数学才会有健康的基础。同时应该开展物理科学的教育 ， 因为物理是培养人具有创造精神的主要方法之一 .( 教育部，1958)

vCooper(1985) 指出 ，60 年代初， 大学数学家与著名公学教师结合起来， 成功地编制了与大学现代数学沟通的中学数学课程 ( 虽然技术实用主义也成功地引进一些应用数学的内容 ). 有着 2500 年传统的各种旧人文主义的数学观 ， 以纯智力衡量数学才能， 认为数学素质先天固有。这一数学观建立在以数学的知识结构和数学家的价值为中心的基础之上 ， 所以是 " 数学中心观 ". 这些集中体现了在英国考试机构中占有席位的大学数学家和数学协会成员的观念。

D. 旧人文主义的数学目的和观念

数学教育的目的

     旧人文主义群体的数学教育目的即旧人文主义在数学上的反映 : 重视数学知识、文化和价值传播 。通过强调数学结构、概念层次和严密性， 达到传播数学的内在纯内容的目的。他们视数学为人类文化遗产和智力成就中的核心部分 ， 视数学教学的目的为体现文学的内在价值。这就要求学生经过深入学习， 理解并欣赏纯数学的美及美学价值 .[1] 他们的一个非常重要的附属目的是传授数学的精华内容 ， 培养未来纯粹数学家。

中小学数学知识论

     旧人文主义认为中小学数学像普通科目一样 ， 是纯粹、有层次结构并自成一体的客观知识体。数学层次愈高其内容愈纯粹、严密和抽象应鼓励学生根据个人的 " 数学能力 " 去努力攀登这个数学台阶 。学生随着水平的提高， 逐步接近  " 真正 " 的数学， 即大学水平的学习和研究内容 。很多数学教材和计划中隐含着这种理论， 尽管其中掺杂了其他的轻度纯粹观。从不少课本和学习卡片设计中可以看到独特的层次结构 ， 如 ω 年代和 70 年代学校数学课程规划 (SMP) 的教材和设计。

数学学习论

     学习论着重对一个广泛结构化的数学知识体的接受和理解 ， 以及与此相关的思维模式。成功的学习是将纯数学概念结构内化的学习 : 了解逻辑关系下概念和性质的层次系统 ， 数学关系和基本思想， 窥见数学的组织结构。正确学习数学知识包括解决数学问题和难题。要求学生根据自己的才能和灵性 ， 通过运用数学知识掌握不同的方法和策略。

数学教学论

     旧人文主义观念中 ， 教师的作用在于有意义地讲授、解释并传递数学结构， 教师应采纳课本组织的结构， 用生动的语言激发学习 ， 并用课外问题和活动丰富数学教学。当然最好采用多种方法和活动， 驱使并帮助学生学习和理解。教师要建立良好的师生关系 ， 尽可能将掌握的知识有效地传授给学生 .Hardy 认为 :

     数学教学中只有一件事最重要 : 教师应该努力诚实地理解他所教的数学以及他所能教的数学 ， 并在学生的最大耐度和能力范围中， 向他们阐述真理 .( 教育部，1958)

     总之 ， 其精神实质是相对于 " 教儿童 " 的 " 教数学 "; 这是传统的中学精神而不是现代的小学校精神。

数学教育资源论

    " 纯粹 " 观限制了对中小学教学有益的资源 。旧人文主义提倡采用课本和用于纯数学作图的教具如直尺和圆规。也提倡使用作为数学工具的计算器和计算机， 但仅限于掌握了基础概念的高年级学生 。为激发和帮助学生的理解， 提倡教师使用模型、视觉教具和其他东西， 但不管怎么说， 认为参加实践活动、进行考察是一项实际的工作 ， 不适于学习纯数学的学生， 只适于不学习 " 真正 " 数学的差生。

数学能力论

     根据旧人文主义的观点 ， 数学天资和才能先天固有， 数学能力纯粹按智力来确定。数学能力的等级存在， 顶端是数学天才， 底部是数学低能者 。教学只不过起帮助学生发挥自己固有潜能的作用， 使其 " 数学思想 " 表现出来 。数学天才要接受教育， 以便才智充分发挥。由于儿童的数学能力差异非常大， 学校可按数学能力分班。旧人文主义把数学能力看作有等级和层次的 ， 并高度重视处于等级顶端的学生， 这即是数学能力天才论。

数学学习评价论

     该理论认为 ， 数学学习的形成性评价 (formative  accessment ) 有多种方法， 但总结性评价 ( summative  accessment) 仅指校外统一考试 。总结性评价以数学学科的等级内容为基础， 根据数学 " 能力 " 确定数学水平。然而困难的是 ， 数学天才的卓越成绩将高于各级水平。另外， 任何容易的或轻松的考试必然降低标准 。考试竞争是确定优秀数学家的一个方式。

数学教育的社会差异论

     该理论认为 ， 数学是纯粹的、与社会问题无关， 因而数学中没有调和社会差异的余地。还认为数学是客观的， 若为达到教育的目的试图将数学人性化 ， 则无论多么周密设计， 其核心本质和纯粹内容总得丢弃一部分 (Ernest，1986，1988). 因为能力或背景而学不好数学的人只需要学习少量的知识 ， 或许只要达到数学等级台阶的最低一阶。

E. 对数学旧人文主义观的批判

     旧人文主义观的优势在于 ， 通过中心一体化的概念强调了数学这一理论学科的组织和结构， 于此相应即强调了学习在于理解数学的美。由于它着重数学的内在价值 ， 因此同功利主义观一样， 它没有忽略数学的内在价值这一重要方面。

    对其观念的批判

     旧人文主义观的基础将面临多方面的批判 。首先， 其数学观否定纯数学和应用的联系， 属纯粹的绝对主义。它把数学看作离开应用基础的纯粹体系， 这完全是虚无缥纱的危险的幻想 。纯数学的许多成就 ( 如 Newton 对微积分的贡献 ) 都离不开科学的问题和刺激源。现代计算机的发展深深影响纯数学的发展 (Steen，1988). 既是科学皇后又是知识仆人的两面性数学 ， 与波动和分子媾合的两面性量子论相比， 前者的两面性比后者的两面性更不能分离 。必须把纯数学和应用数学看作同一事物的两个侧面。

     其次 ， 从道德上看，" 象牙塔 " 学院主义和有关的精英观念非属健康的思想， 这种观念否认数学的任何社会意义 ， 或者说不承认数学应普遍承担责任。然而数学职业只是社会的一个部分， 同样数学也只是知识领域的一个部分 ， 这两种情况下均不存在否定部分对整体承担责任的道德基础。把其观点建立在下述认识基础上从道德上讲是不负责任的 ， 并是错误的， 即认为数学从某种意义上来说本质上是好的， 所以它可以不承担由于它对学校或社会上部分人的生活产生负面影响而可能造成的坏结果 。任何知识和生活领域都没有这一特权， 民主社会中一切意识形态都应承担责任。

     第三 ， 本质上社会等级和人类的精英论是由人的能力固有这一不公正假设所造成的。当前人们普遍认为， 不管遗传因素对能力和数学能力起什么作用 ， 环境对能力的表现产生主要影响 (Beck 等，1976).

消极的教育结果

     上述理论缺陷带来严重的教育后果 。首先 " 自上而下 " 的数学课程观存在问题。一个问题是 "A" 水平数学主要用作学生升大学的准备 ， 普通中学教育 (GCSE) 的数学用作学习 A 水平数学的准备， 学校数学的各级阶段目标依次如此 。为此出现的荒谬结果是， 大众数学教育的对象成了少数人， 即不超过百分之一将学习大学纯数学的极少数人 .60 年代改革的一个主要后果便是如此 (Howson 和 Wilson，1986).60 年代为全体学生的数学大纲成了培养高一级学术水平的 " 内容倾倒 " 式大纲 ， 于是编制适当的自由体 (free-standing) 式大纲的机遇就失去了。因此， 课程不是为多数学生未来需要 ( 无论干什么 ) 的学习而设置的 (Cockcroft，1982).

    " 自上而下 " 的课程观不仅存在于数学 ， 学校任何学科中也普遍流行之。究其原因在于， 旧人文主义认为纯知识教育高于应用知识和实际技能教育。这种认识带来的结果是不恰当的课程设计一一背离大多数学生的需要和兴趣 。不惜牺牲整体社会利益而为旧人文主义服务， 这是对其教育的唯一理性解释。由于纯数学课程的附带价值， 它成了旧人文主义扩张的本源 。用这种课程对非旧人文主义思想的人、对轻视旧人文主义价值的人施教， 以此来保护旧人文主义的地位和权力。

     尤其是 ， 为极少数未来数学家服务的数学课程使其余学生对之生畏。一个群体为了自己的利益而改变教育的目的， 这种做法既不正确又与教育原则相悖 。课程体系若仅坚持功利的立场， 使多数人处于不利而不是有利的地位， 这种体系便无立足之本。

     旧人文主义观带来的第二个后果是 ， 数学在学习者面前俨然表现出客观、外在、冷峻、严酷的面孔， 并使人感觉它远在天方 (Ernest，1986). 这将使人们对数学的态度和情感产生巨大消极影响 (Buerk，1982). 尤其是分离概念下的数学观是妇女对数学持消极态度的根本原因 ， 造成妇女数学低参与的恶果 ( 开放大学，1986). 数学若与世界、人类活动和文化不相关， 它就会使学生与之疏远 ， 就会无视性别差异问题。强调结构和逻辑造成数学的僵化 .Polya 曾引用 Hadamard 的观点总结说 :

     数学严密的目的在于确认靠直觉获得的东西并予以合法的地位 ， 此外别无其他目的 .(Howson，1973) 

     数学若钟情于客观和形式 ， 强调远离人类和自身的程序， 就会抑制人们参与对它的学习。近来许多与数学有关的权威性报告都强调在人性化环境中积极参与学习 ， 尤其是问题解决、应用和探究学习的重要性 (NCTM，1980，1989;Cockcroft，1982;HMI①，1985). 若过分相反地强调数学的严密、结构和形式 ， 则会造成人们难以理解数学或人们学习数学失败的结果。

     第三个后果是 ， 数学能力先天固有的假设伤害了被列为数学能力缺乏者的自信心， 我们知道， 以他人的看法认定自我能力的行为叫作自我依从行为 (Meighan，1986). 被列为能力缺乏者的自我依从心理影响了他们的数学成绩 ， 使学习水平下降 (Ruthven，1987). 数学的性别差异问题也归于这个假设， 假设数学能力具有男性特征的固定看法是数学能力差异的主要诱发因素。

①Her Majesty's Imspectouate: 皇家督导团

二、进步教育派

A. 联系的相对性绝对主义观 ?

道德价值体系

     这个群体的道德价值是联系的价值 : 建立在平等概念和需要差异这一认识基础上的责任性道德 …… 取决于对同情和关心的理解 .(Gilligan，1982)

     这些价值关注人情关系和人与人的联系 ， 其表现方式为感情投入、关怀爱护及人情体现。人们习惯地把这归于 " 女性 " 角色表现 ( 社会所造就 ): 关怀、爱护、照顾和保护。

     联系观对应于教育和艺术中的浪漫传统 ， 重视表达方式、风格、差异、经验和亚文化 (Jenkins，1975). 表达方式体现特殊的个人或人本为中心的价值 ; 同理 ， 经验是 " 个人知识 " 的源泉。

     可以视下述对偶观念中的第一方具有联系价值 ， 如儿童中心与学科中心、内容与结构、进步与传统、直觉与理性， 以及酒神与太阳神等。上述对偶中代表联系的一方意指表达方式、创造性、情感、主体和动态 ， 以之代替规则、结构、逻辑、客体和静态， 尽管它们不是联系价值的必然体现， 但都有一些联系价值的涵义。

认识论

     从认识论的角度看 ， 该观点属理性主义但含有经验主义的成分 (Blenkin 和 kelly，1981). 该观点认为 ， 知识是先天的， 是个人对之展现和发展过程中的再创造。它还认为知识的胚芽或形态在人脑中生成， 在经验成熟过程中发展 。这一认识论起源于 Plato 、 Descartes 、 kant 和传统理性主义的思想。从近代的 Piaget 和 Chomsky 的著作中可以看到这个思想 ， 他们认为逻辑数学知识和语言知识都是先天固有的。

     该认识论中还含有经验主义成分 ， 比如英国的经验主义、 Dewey 的思想和进步教育的势力 (Dearden，1968;Blenkin 和 kelIy，1981). 经验是启发儿童先天知识的重要促进因素 ， 儿童通过与外部世界的交往来发展知识。

     经验主义和理性主义均承认客观真理存在 。然而联系的相对性绝对主义观认为， 尽管可以完善知识， 使其逐步稳定地发展为绝对客观真理， 但它不会达到这种真理 ( 见 Popper 的著作 ，1979).

数学哲学

     其数学哲学是绝对主义哲学 ， 认为数学是绝对的必然真理。但它又是进步的绝对主义， 因它非常注重真理认识过程中个人的作用， 认为人是进步的 ， 人逐步向数学的完善真理接近。根据其联系的价值， 数学具有人性和人性关系， 数学作为一种语言是主观知识 ， 应重视并强调数学的创造性和人性方面。但是其观点带有绝对主义思想。因此， 它的数学观是进步的绝对主义 ， 其绝对主义带有人文主义、联系价值的色彩。

儿童论

     其儿童论认为儿童具有作为人的一切权利 ， 儿童需在培养、保护和多种经验中充分发展自己的潜能。他们将儿童比喻为 " 纯真、蒙昧的人 " 和 " 生长的花朵 "(Ramsden，1986). 纯真、蒙昧的儿童与生俱有良好的人格 ， 他们的需要和权利至高无上， 他们在自然和社会环境经验中获得知识并得到提高。联系的价值是保护性观念产生的根源 ， 它有助于培养创造性并积累个人经验。作为生长花朵的儿童生来就有求得精神和身体发展所需的一切要求， 为他们创造适当的环境 ， 积累一定的经验， 有助于他 ( 她 ) 们自主地发挥最大潜能。理性主义为儿童发展营造了温床。当处于适当经验 ( 经验知识 ) 中时 ， 这张温床有助于人类潜能的最大发挥和实现， 使知识获得全面发展。

社会论

     该观念注重个人的而不是社会的胚基 ， 但考虑个人发展的环境。理想地说， 社会是一个有益的培育环境， 而现实存在的社会弊端要求对个人给予爱护 。这种个人主义思想将弱化社会的结构特征。该社会论不提倡对维系不平等现象并否定机会的社会组织结构产生任何异议 。联系的价值会使人们诚信个人遭遇的不良社会条件和机遇能得到改善。因此， 除了对社会现状不持异议， 该理论从条件改进上看是进步自由的思想。

教育目的

     按照这个观点 ， 人类的目标是自我发展、在 " 成为人 " 的过程中追求个人的人格完善 (Rogers，1961). 教育的目的是通过个人发扬创造精神、自我表现和获得广泛经验 ， 以促进自我实现， 从而达到最全面的发展。这是来自进步的联系性价值和认识论的儿童中心目的观。因为这些目的仅出于为儿童发展而关注儿童发展 ， 所以渲染了某些内在价值的纯粹目的。

B. 联系的相对性绝对主义 : 进步势力

进步势力的起源

     把儿童看作 " 纯真、蒙昧的人 " 和 " 生长的花朵 " 的儿童论属进步思想势力 。这一势力的思想根基是 Plato 的认识论 .Plato 认为人皆与生俱有才智秉赋， 学习就是意识我们的才智 ， 或追忆我们的忘却。

    Rousseau 以此为出发点 ， 认为儿童具有内在学习潜能， 能够按照个人的计划发展。但与小学校传统特别是与耶稣基督思想相反，Rousseau 否认儿童的原罪烙印 。所以《爱弥尔》的开篇写道 :

     东西出自上帝之手皆好 ， 而一经人之手皆坏 .(Rousseau，1762)

    Rousseau 认为 ， 我们从这种初始状态开始， 遵循内化模式， 在教育的帮助之下得到发展。植物生长需培育， 人的成长需教育 ，…… 我们生来缺乏的， 我们成年需要的， 这一切的获得皆教育的恩典。

     给予我们的教育来自自然 ， 来自人， 也来自事物。我们身体和内在机能的生长是自然的教育， 我们学会利用这个生长是人的教育， 我们从环境中和经验中所获得的是事物的教育 .(Rousseau，1762)

    Rousseau 强调儿童的内在潜能 ， 儿童的需要以及实际教育活动、游戏和经验的作用， 由于 Rousseau 的儿童观视儿童最初处于未开化的状态 ， 用 Dryden 的话说， 他的儿童观就是把儿童看成 " 纯真、蒙昧的人 ".Rousseau 注重儿童出污泥而不染的本质 ， 注重他们的经验、权利和知识的获得， 儿童为中心的教育观就是他首先提出的。

    Pestalozzi 和 Froebel 附和儿童是 " 纯真、蒙昧的人 " 的想象 ， 进一步还把儿童想象为 " 生长的花朵 ". 儿童作为生长花朵生来需要身心发展的一切养料 ， 为他们创设适当的环境 ( 如幼儿园和托儿所 ) 将促使他 ( 她 ) 们发挥最大潜能。由此认为人们应根据自发、愉快、游戏、实际经验学习和小组活动的精神 ， 积极创设这种环境 (Ramsden，1986).

    Rousseau，Pestalozzi 和 Froebel 在其著作和实践活动中有关儿童的想象 ， 奠定了进步教育势力的基础。继 Rousseau 之后，Pestalozzi 进一步强调教育需要具体经验 (Blenkin 和 Kelly，1981).Froebel 主张 " 游戏是儿童的有益活动 " 、是儿童潜能发展的核心 (Dearden，1968).20 世纪的教育哲学家 J. Dewey 发展了这一思想 .Dewey(1916) 倡导经验教育法 : 儿童接受的知识须经过检验 ， 要以活动、问题解决和设计方法 (Project method) 的方式学习。正像他的哲学一样 ， 他的教育哲学强调认识的重要性和获知过程。

    Dewey 的数学哲学 ， 即实用主义运动的数学哲学， 更具有经验主义甚至可误主义。然而， 他从未全面写出自己的数学哲学观点 。因此， 他的数学哲学思想或许影响到绝对主义向进步绝对主义的转变， 除此之外对进步势力的绝对主义数学哲学的影响则微乎其微 。然而， 他的知识实用观已被前述认识论吸纳 : 注重知识的经验基础 ( 经验主义 ) 以及知识结构 ( 与某绝对模式一致 ) 在人脑中的展现 ( 理性主义 ).

    Maria Montessori 是 20 世纪早期的另一位进步教育势力的积极成员 。她的观念明确体现出儿童是 " 纯真、蒙昧的人 " 和 " 生长的花朵 " 的思想。

     她的理论认为 …… 儿童的本质从根本上良好 ， 教育是儿童天生才智的展现过程 .…… 自由是展现的核心要素， 是发展过程中经验感觉的 ( 需要 ).(Lillard，1973)

心理理论

     进步势力的另一股力量是心理发展理论的持有者 ， 不仅有 Herbart，Freud， 还有 Piaget 和 Bruner.Piaget 的智力发展论注重儿童发展的两个方面 : 一方面是儿童经验为中心 ， 特别是儿童与世界的实际交往 ; 另一方面是儿童思想的展现逻辑 ( 与成人思想的展现逻辑不相同 ). 由于儿童从心理上来表现其经验和行为 ， 并以操作的逻辑发展顺序转现这些表现， 因此儿童的经验和行为融会贯通也于一体 .:
Piaget 是结构主义者， 他曾提出儿童创造自我世界之知识的观点。但他还相信儿童的知识创造和展现受到绝对性概念的制约， 尤其受到数学和逻辑绝对性概念的制约 。所以 Piaget 承认绝对性知识观， 尤其是绝对性数学观。从心理角度上， 他还赞同儿童发展进步观 ， 认为儿童在发展过程中展现思想， 经验对于发展很重要。从理论上，Riaget 也赞同儿童发展可达到 " 成熟 "(readiness) 阶段的提法。
进步教育势力

     进步教育势力的一支力量是私立的 " 进步 " 学校 ， 其中有 A. S. Nei11(1968) 的避暑山庄学校和 Dartington Hall 学校 (Meighan，1985). 但是在英国从根本上受进步势力影响的是初等教育。政府的两个教育报告，Hadow 报告 (1931) 和 Plowden 报告 (1967)， 均极力赞同初等教育的进步势力 (Blenkin 和 Kelly，1981).Hadow 报时以其进步的教育势力与抵制严格训导的小学校势力相结合而闻名于世 。该报告建立在前述儿童观的基础上， 强调教育过程一一认识的积极参与而非被动接受知识。

     课程针对活动和经验 ， 而不针对欲获取的知识和欲储存的事实。课程的目的是发展儿童的基础学力 .(Hadow 报告，1931)

     进步教育的 " 自由浪漫思想 " 在 Plowden 报告 (1967) 中表现得最为充分 ， 政府最大程度地认可了这一报告。

     儿童是教育过程的 " 心脏 ". 引导性政策的制定 ， 新资源的配置， 如果不能适合儿童的本性或儿童根本不可接受， 它们就决不会达到预期的效果 .(Plowden 报告 ，Pollard 摘，1987)

     学校决不只是教学的场所 ， 它还传播价值观念和态度。学校是一个团体， 在这个团体中， 儿童首先需要作为儿童而不是未来成人而生活 .…… 学校应精心为儿童创设合适的环境 ， 以利于他们的表现呈现他们自已， 并以这种方式和合适的进度去发展 ....... 学校要特别注意个人发现、直接经验和创造性做事的机会 。学校应坚持知识不能整齐划分成互相独立的若干部分， 以及学习和游戏不是相对而是相补的观念 .(Plowden 报告 ，Richards 摘，1984)

     在对 Plowden 报告的综合评论中 peters(1969) 认为 ， 它体现了自由进步的教育观 : 于适当环境中发展是儿童的 " 本能 "， 自我把握方向 ( 自主性和发现 ) 对于发展至关重要 ; 知识不可以分割 ， 课程是反映知识的一个整体 ; 教师是向导和环境创设者而不是讲授者， 他们须用最少的干预， 使儿童取得从一个发现到另一个发现的进步。

保护主义

     进步势力的另一个要素是 ， 保护儿童免遭生活的磨难。从 Rousseau 的论著中我们看到这一思想 :

     恳求你 ， 温柔、敦厚的母亲， 为了路旁的小树免遭碰 : 击、冲撞， 把它移开吧。为了孩子的灵魂， 扎起栅栏吧 .(Roussesu，1762)

     这一要素也是现代进步的初等教育理论的基础 .Kanter 观察了某幼儿园施行的一套有益经验 ， 其中有游戏和个人探索，" 通过限制易使儿童 ' 产生焦虑 ' 的七种行为， 创设适合于儿童发展的环境 "(Dale 等 ，1976). 为保护儿童而受到限制的行为是 : 无常易变、离奇古怪、神秘兮兮、性情压抑、责任独揽、神态忧郁以及同伴随龃龉 。限制这些行为可促进儿童游戏常规化， 减少个人专断并消除磨擦和冲突。

进步观念的明确陈述

     对进步教育观念的明确陈述属于 Barth， 这个陈述强调好奇心、活泼学习、系列发展和主体知识 。这与 " 儿童 - 学习一知识 " 观相关。
儿童与生俱来的好气心， 他们表现的探索精神尤其不依赖成人的干预。

     丰富环境中的积极探索提供广泛的操作素材 ， 于儿童的学习有利。

     游戏与学习分不开 ， 游戏是早期儿童学习的主要方式。当儿童选择学习材料或选择从事探究的问题时， 向他们提出合理建议， 有利于他们主动地学习 。每个儿童以自己的方式、自己的速度和自已的时间越过相同的智力发展阶段。智力只有经过一系列具体经验后的抽象才能增长和发展 。知识是个人经验综合的结果， 不能成为整齐划一的范畴或规戒的形式。对每个人学习都是必要的那样一个最小的知识体不存在。 (Alexander，1984)

    Richards 也同样明确陈述了进步教育的观念 :

     自由浪漫主义一一首先从考虑个别儿童而提出的这一教育概念 ， 在教育中针对于普遍的儿童。与其他观念相比， 它更提倡师生的平等关系， 倡导教师 " 围绕 " 儿童教学 ， 使儿童在活动类型、内容和时间方面有相对自主的选择 .(Richads，1984)

对小学校传统的评判

     进步教育者严厉斥责严格训导思想的小学校传统 ， 且往往动之以情感。他们斥责这一传统的特点是 " 集体教学， 吟咏玩味， 死板阅读， …… 对课习时间限制 ， 课堂沉寂，…… 课本对于所有学生相同 "(Kirby，1981); 还强烈抨击小学校传统既管理僵化又个性抹灭 ; 缺少对个别儿童的关怀 ， 阻碍儿童以适合自己的速度成长为人 .Alexander 也分析了进步教育派的文章和作品， 从中发现他们的观点。

    温和平静， 表现与自然浪漫格调秩序的共鸣， 儿童纯真无虑的回归以及寒冷夜晚的篝火和暖意 ." 儿童是教育过程的 ' 心脏 :Plowden( 报告 ) 想象一个儿童在温暖怀抱里安然入睡中的情景 ， 他采用 " 心脏 " 而不是普通的中性词 " 中心 " 和 " 处在 " 等名词 ， 似乎无意识地道出了非儿童中心的用词特点一一粗暴， 其所表现的是限制、约束、暴力 ." 关怀 " 、 " 情感 " 与 " 粗鲁 " 、 " 呆滞 " 、 " 限制 " 或 " 强加 " 相对立 . (Alexander，1984)

    20 世纪以来人们普遍赞同进步教育观 ， 尤其对初等教育领域。因此， 尽管 " 自由浪漫主义 "(Richards，1984)\" 传统进步观 "(Golby，l982) 、 " 传统发展观 "(Pollard，1987) 以及 " 学校开放教育 "(Silberman，1973) 等其他观念存在 ， 但是人们仍主要以进步教育观来论述初等学校中的多数问题然而， 不能简单地认为， 进步教育观得到普遍承认即表明它就是具有支配性的观点 。自 Plowden 报告 (1967) 发表以来， 严格训导思想、技术实用主义以及旧人文主义都曾对其进行过攻击 ， 处于非难时期的进步教育观更需要确立自己的论据 (Cox 和 Dyson，1969，1970;Cox 和 Boyson，1975;Callaghan，1976;Peters，1969).

C. 数学教育的进步势力

     进步的数学教育观念主要产生于近百年 。可以看到进步数学教育观的相关的三个特征 :

    (1) 为数学学习创设适当的建构环境和经验基础 ;

    (2) 培养儿童积极、自发地探索数学 ;

    (3) 关注儿童的情感、动机和态度 ， 抵御学习的消极因素。

     从 20 世纪初开始 ， 进步教育者就为创设适当的儿童建构环境而积极开展活动。为培养儿童的独创性， 他们制作了算术和代数课题的数学建构教具 .Montessori 制作过一套数学学习教具 ， 如 " 金珠子 " 十进数演示器 (Williams，1971).Stern 、 Cuisenaire 和 Gattegno 制作了另一些材料和教具 ， 如 " 数棒 " 建构演示物等 .Dienes(1960) 制作了一整套不同的数学学习和游戏材料 ， 其中有算术、逻辑、集合 : 和代数方面的具体东西。儿童在系列操作性学习指导下方能最好地习得数学， 已成了现代初等数学教育观的习惯认识 (Williams，1971).
为开发数学教具和材料 (Cooper，1985)， 数学教具协会于 1953 年成立， 后来发展成为数学教师协会， 是一个代表数学教育进步势力的组织。

     数学协会于 1956 年提交一份关于小学数学教学的报告 ， 提出许多进步教育的措施， 其中有一章即关于数学 " 教学模具 " 的使用 [2]. 报告的开头写道 :

     今天 ， 任何一个教小学生的人免不了要受到 " 活动和经验 " 的挑战。现代教育家取得了下述共识 ，…… 即使儿童会思考， 他们也必须会做 .( 数学协会，1956)

     该报告明确表达了进步教育的目的 : 从事初等学校工作的数学专家和教师们 ， 要把儿童的数学发展作为儿童全面发展的一个方面来看待 .…… 因为最重要的是儿童的整体发展，…… 关键在于把数学看作低幼儿童整体教育的一个方面、一个相称的方面 .( 数学协会 ，1956)

    60 年代 ， 进步的数学教育观念广为传播，Edith Biggs(1965) 这位极力赞同进步观者三年中销售了 165，000 份著名的文件 。进步观念在这一时期发扬光大， 发现、问题解决和儿童对数学的态度得到强调。代表进步观念的 Nuffield 数学教学规划 (1965) 是一份著名文件 ， 它强调活动课题和活动内容 ( 做方能理解 ). 文件专用一章论述发现式学习， 指出数学态度的重要性 。迄今为止， 我们忽视了一个关键问题 -- 儿童喜欢并仍打算学习数学吗 ? 我们一般认为， 数学态度在小学已基本形成 ， 很可能在小学的最初几年就已形成。为了防止某些 ( 消极 ) 态度继续发展， 必须注意消除它们早期形成的可能性 .(Nuffield 数学教学规划 ，1965)

    1966 年莫斯科国际数学家大会上 ， 数学教师协会 (1966) 提交一份报告， 指出儿童数学活动和问题解决的重要性 (" 儿童数学活动的发展和发展中问题的地位 ").

     数学教育进步哲学的一支有生力量是教师培训学院 。教育学院和数学教师协会 (1966) 就数学教师教育问题发表一份著名议案， 其中强调了学生或儿童的创造性数学活动的重要性 ， 介绍了 " 数学探究 " 的概念， 阐述了数学开放问题的提出和探究， 同时给出了一些 " 引入要点 ".[3]60 年代未 ， 数学会在早期报告的进步思想基础上， 又发表了一份关于小学数学的报告。儿童以自己的学习速度发展， 他们通过对获得经验的积极反映来学习 ; 他们通过建构的游戏、实验和讨论产生关系意识并发展智力结构一一数学形式的结构 ， 这事实上是数学技能的唯一可靠基础 .…… 小学数学教学的目的是， 从实物和活动出发 " 建立数学思维的这种基础 ".( 数学协会 ，1970)

    Cockcroft 报告 (1982) 赞同进步的数学教育传统 ， 强调问题解决， 实际的探究活动以及讨论和学习者的态度， 之后的皇家督导团 (1985) 亦对之赞同 。据此国家普通中学教育数学合格证书的标准 ( 教科署，1985) 加强了问题解决、探究活动和课题作业 ， 并把这些作为评价 16 岁学生数学水平的部分内容。国家课程数学编写组的中期报告 ( 教科署，1985) 是进步思想的典范 ， 它强调学习者的态度为首要， 儿童的数学化过程为其次， 最后才是数学内容的意义。

     数学教育工作者、顾问、教师指导者以及持进步思想的教师中赞同进步的数学教育传统者比比皆是 .20 世纪以来 ， 英国中小学中这股势力不断壮大。从某种意义上， 这是由于结成联盟的进步教育者与进步的技术实用主义者站在一个共同的立场上 -- 就业需要实际的、自信的问题解决者 (Hodkinson，1989).cockcroft(1982) 报告赞同数学教育的进步目的和功利目的 ， 从中看出进步思想与实用主义的联合。

     总之 ， 英国的数学教育进步观主要从数学教师协会那里体现出来。然而这种明确并不那么断然， 因为协会中长期存在着激进势力 ， 一些主要成员倾向大众教育的思想 .[4] 但是， 数学协会的行动越来越倾向于进步教育 .[5]
世界范围的进步教育观数学教育的进步观念表现为世界性的， 例如在欧洲大陆， 北美和澳大利亚。美国全美数学教师协会发表过著名的 " 行动纲领 "， 是他们初施的建设性纲领 :

     问题解决必须成为 80 年代中小学数学的中心 。开放思维、新鲜好奇和探索的态度是开展问题解决活动的基础 .…… 数学教师应该创造有利于问题解决的课堂环境 .…… 这是创造性活动的根本 .( 全美数学教师协会 ，1980)

     最近 ， 全美数学教师协会又提交一份更加体现进步教育观的 " 中小学数学标准 " 计划草案 ， 是一份进步教育的评论。调查和探究精神应融汇在讲解中 .…… 教师需要创设一个宽松的环境，…… 学生应积极参与学习过程、调查、个人探究和小组活动 ，…… 教师应是学习的有益促进者， 而不只是知识的传播者 .(Cooney，1988)

D. 进步数学教育者的教育观念

中小学数学知识论

     根据 Marsh 的看法 ， 其思想突出 " 经验而不是课程，…… 儿童而不是课 ?quot;(Alexander，1984). 数学是儿童全面发展的载体 ， 因此课程强调作为语言的数学， 并强调数学经验中创造性和人性的一面。问题解决和探究的数学过程， 比如归纳、猜想、抽象、符号表示、结构和验证 ， 与特定的数学内容相比， 前者扮演更为重要的角色。数学只是整体课程的一部分， 所以引导学生应用的 " 跨课程数学 " 应视作中小学数学的一个重要部分。

数学教育的目的

     进步教育的数学目的是通过数学学习的经验 ， 促进人类成长的全面发展， 培养儿童的创造性和自我实现精神。其中包含两方面 : 第一， 儿童在数学发展中是自发的探求者和知悉者第二 ， 培养儿童对数学的自信心、积极性和自尊心， 抵御削弱儿童这些精神的消极做法。

数学能力论

     进步教育的数学能力论是个人主义论 。其核心假说在于， 由于数学能力带有先天遗传差别， 因此个人的发展速度是不同的。反过来看， 速度不同又使各人的数学进一步发展的 " 成熟 " 水平不同 ， 但是认识到只有在适当的经验基础上个人的数学能力才能够充分实现， 经验缺乏将阻滞儿童的进步。理性认识论和经验认识论这两个相对理论始终对立 。能力受到遗传基因和先天思维水平的牵制， 还受到经验和环境的影响。

数学学习论

     进步的数学教育理论的最为精辟之处在于它的数学学习论 。其论述包括学生对环境的积极反映， 以及学生的自主探究 : 找出关系、创造事物和知识。认为学习应包括调查、发现、游戏、讨论和合作研究 。为便于培养学生学习的自信心、积极性以及良好情感， 学习的发生环境应丰富多彩、充满刺激， 但也得有安定性 。因此数学学习首先而且最重要的是要强调积极性一一一儿童在游戏、活动、调查、设计、讨论、探究和发现中的学习积极性 。其次的关键是数学学习的自我表现一一儿童自己的解决方法和求进记录。儿童自己的数学思想和规划尤有价值。

数学教学论

     其观念的数学教学论包括鼓励、促进学生 ， 并包括精心组织安排探究活动的环境和场景。教师的理想教学是利用学校计划的数学课程安排一个 " 游戏场 " 一一一围绕课堂的各种数学活动 ， 采用多学科综合课题的活动。该教学论认为教师要采用非介人方式的指导， 防止学生产生矛盾、恐惧和消极的情感 ， 教师是学习环境及资源的组织管理者和学习的促进者。

数学教育资源论

     资源论对数学学习起着重要作用 ， 因为学习包括活动。课堂是丰富多彩的学习环境， 要利用结构模型和教具， 促进学生的概念形成及数学思想的显形表现 。除拘谨的课堂外， 还要采用有利于创造、表达和动手的资源， 通过它们把数学与儿童的全部经验联系起来。同时 ， 资源利用需由儿童自我决定。

数学学习评价论

     评价理论指对成绩进步的非形式评价或教师参照标准作出的评价 ， 这是一种防止学生失败或防止标定儿童为 " 错误 " 的评价方式。该评价不主张校外统一评价 ， 以免儿童的发展受到阻挠。其理论主张， 避免更改儿童作业中的错误或用其他更改方式批注 ( 为避免出现直截了当的错号标记 ， 检查作业时只批对号、不批错号或不写 " 应这样做 !" 云云 )， 尽量防止儿童出现烦恼和痛苦。

     这种评价是产生下述矛盾的根源 。绝对主义观认为， 对数学问题的理解应该有正确或错误的答复。而保护主义观认为， 不便明确指出或修改儿童的 " 错误 "， 以免挫伤其身心及情感 。若以社会的方式来处理 " 错误 " 的事情， 通常的做法是用婉转的评价词 ( 比如 ，" 瞧我的做法 !") 代替直接指出错误的评价词。

数学教育的社会差异论

     联系的价值把数学放在每个儿童的文化圈里 ， 迎合文化和种族差异的需要， 受到进步教育观启发的交叉式课程处理， 有利于数学的多元文化。因此， 了解儿童的不同文化背景 ， 在数学教学中利用这些文化特点是有益的。这种做法的更重要之处在于满足每个儿童的需要， 从精神上支持和帮助他们 ， 树立他们的自尊心， 防止他们出现抵触情绪。然而， 在多元文化争执中仅利用问题的积极面或中立面， 易造成为保护儿童情感而否定或削弱种族主义与其现象的矛盾 。总的来说， 其社会差异论是个人差异论， 它力求文化和语言差异的调和， 并力求满足个人的不同需要。但是从保护愿望上说 ， 它否定社会矛盾和种族主义的严酷现实。

E. 对进步教育目的的评判

     概括进步教育观的优点及其目的 ， 即它突出儿童的本质， 兴趣以及学习者的需要 ( 当认识到这些时 ). 其目的在于增强学习者的自尊心 ， 使它成为自信的数学认知动因。这一点极为重要。教育目的必须从根本上有利于学习者并树立其自尊心， 任何对社会和人类文化有利的意图均出自这一根本性目的 。此外， 其目的重视数学的创造性而不注重功利， 这是最主要的方面，但也是易忽略的方面 (Isaacson，1989，1990).

中小学数学知识论

     由于数学的绝对观和中小学数学及教育的儿童中心观相对立 ， 因此就出现了矛盾。如果儿童中心与数学中心相对立， 那么就会出现反对让儿童迎战数学而只注重儿童经验的结果 。以牺牲数学为代价的知识观可能造成下述结果 : 学生的数学概念和结构的发展完全达不到自信地运用 " 思维工具 " 的水平 (Mellin 一 Olsen，1987). 如果学习者的学习经验不能分化溶解于学科领域 ， 那么他们的数学意识、他们唯独表现的数学知识和探究方法或许就不会有所发展。

数学教学论

     由于淡化教师的作用 ， 因此进步教育观的教学论是不够完善的。至少它没有恰当地认识到教师的三个关键作用。第一， 教师是数学知识体系和学习者的媒介 ， 能够发挥选择和表达数学知识的作用 (Peters，1969). 这一点对创设学习环境或设计学习活动非常重要 。第二， 由于教师能反馈信息、指导学习并激发重新考虑问题， 还能与学生不断地相互交流， 因此他们必能调控学生的学习并介入学生的意识活动 。第三， 教师的自我行为和社会行为为儿童树立了榜样。教师在上述每个方面是教育过程的中心， 对此进步教育观的接受尚不够全面。

过分保护

     对进步教育观的第三点批判是其过分保护儿童 ， 他们竭力防止儿童产生认知矛盾或冲突， 而矛盾和冲突正是剌激儿童智力发展所必需的。恐及挫伤儿童情感一一如此过分保护 ， 必难明确地改正儿童的 " 错误 ". 由于儿童对错误之意义已理解较深， 用婉转词 (" 瞧我的做法 ") 而不用错号或非对号批改作业 ， 就会掩盖问题的真正意义。认识错误对学习是必要的， 认识矛盾或冲突同样对数学学习是必要的。此外， 处理人际关系和对抗性矛盾是现代社会公民的基本生活技能 。然而， 进步教育观试图用否定课堂与外部世界的冲突来维护人为的和谐。进步教育观抵制上述种种活动， 并阻碍儿童的认知、情感和社会能力的发展。

社会论

     第四个批判针对其有缺陷的社会论 。进步教育观是朴素的政治观， 它忽视教育周围的社会胚基和不平等现象， 把着力点单放在个人上。根据这一观点 ， 社会进步加上自我实现和自我尊严便能够解决个人的问题。因此， 该观点几乎或根本认识不到造成个人生活条件的社会和政治原因 ， 也认识不到成熟儿童将面对的社会现实， 更谈不上对他们进行社会能力方面的培养了。

儿童论和数学学习论

     第五个批判是其儿童论和学习本质论的基础放在了不加论证的假定和理论上 ， 显得过于浪漫且脱离现实。儿童既非 " 纯真、蒙昧的人 "， 又非 " 生长的花朵 "， 这些比喻并不恰当 。人们尤其已逐步地认识到， 如同教育理论中社会的重要作用一样 (Meighan，1986)， 心理理论中社会的作用亦很重要 (Donaldson，1978;Mead，1934;Vygotsky，1962). 社会需要语言 ， 有了语言才有思想和世界观 (Sapir，1949;Vygotsky，1962). 儿童的本质和发展不能脱离社会变化的影响 ， 因此进步教育的儿童观不够全面。

     进步教育观进一步发展为超浪漫主义 ， 造成教育的说法与实际不一致的现象。研究表明， 实际的数学学习活动远非我们想象 ( 在正统进步教育的导向下 ) 得那么普遍 。例如，1982 年的调查发现， 一个学期中抽样调查的 11 岁的学生， 有一半以上从不使用或至多使用一次算术教具 ( 成绩评价署 ，1985).Desforges 和 Cockbum(1987) 的研究发现， 中小学的初等数学活动十分常规和机械 ， 并未有效地激发自主思维和高级思维。多数孩子使用出版商的数学课本， 或在个人基础上按照常规计划学习数学 ( 成绩评价署 ，1985).[6]

注释

    [1] 正像 Coopz(1985) 指出的 ， 这些目的 ( 以及旧人文主义价值观 ) 的背后有自我兴趣成分。如果没有适量学生加入学习纯数学的队伍 ， 该群体的力量和人力基础将面临被削弱的威胁。

    [2] 进步教育思想者 Caleb Gattegno 产生的影响很关键 ( 不是数学协会造成的影响 ).Gattegno 在报告的拟定期间成立了与数学协会相抗争的 ATAM 协会 (Cooper，1985).

    [3] 虽然早期文献中显示过数学探究 ， 其中有 Polya(1945) 的著作， 但是在此之前没有发现过这个术语。

    [4] 具有政治色彩的例子由 Stanfield-Potworowski(1988) 和 Lingard(1984) 所举。

    [5] 例如 ， 数学协会的 G.Hatch 和 M.Bird 发表的出版物体现了进步教育的儿童中心观一一过程和引导下的活动 ， 不加判别地着重于儿童的创造性结果。

    [6] 由于浪漫观念和进步教育的说教与实际之间、安全的课堂天地与社会经济现实 ( 许多学生生活艰辛、贫困 ) 之间的强烈反差 ， 造成进步教育观念中的两个对立矛盾。如果把这些矛盾摆出来， 进步教育者就会失去幻想， 无从乐观。我的论点是 ， 以 Holt(I972) 、 Goodman(1962) 、 Illich(I970) 和 Lister(1974) 为代表的 " 废除学校教育 " 运动产生的部分原因可以这些矛盾来说明 。上述几人抨击进步教育观念， 强调学校立法和儿童个人的否定。他们提出废弃或根本重建中小学教育， 正确培养学生的个性和兴趣 ， 实现进步教育的理想。废除学校教育的观念虽有一些见解， 但却是极端悲观并过于臆断了。中小学教育的许多方面值得赞赏 ， 可通过政治和教育行动促使中小学状况的改变。当然 " 废除学校教育 " 运动远比我们这里的简单构划要复杂 (Meighan，1986)。