A. 相对性可误主义观

     这一观念的基本原理如下 .

数学哲学

     相对性可误观的数学哲学是社会建构主义 . 我们知道，社会建构主义数学哲学认为数学受文化的局限并赋有价值，由此它的知识观认为数学可纠正、数学为拟经验的，它破除学科的严格界限，承认学科的社会价值和社会历史 . 这正是知识认识的变革观 (Confrey,1981).

认识论

     该观念的宏观认识论与其数学哲学一致，也是可误主义的，它着重于概念的变化 (Toulmin,1972:Pearce 和 Maynard,1973). 因此它的认识论认为，一切知识都受文化局限和价值赋有的，知识建立在人类活动和探究基础上并与之相联系，知识的发生和判定存在人的认同，故知识是社会的 . 从社会和政治意识上看，由于它认为知识、道德以及社会、政治、经济等所有这些问题都密切相关，因而它属于批判性认识论 . 该观念尤其认识到，知识是行动和权力的要素，知识不能脱离现实 .

道德价值系

     其道德价值是社会公正价值，是分离价值和联系价值的合成 . 分离观重视公平和权力价值，并认识到社会、经济和政治之结构的重要性 . 联系观尊重每个人的权利、情感和意义理解，关心所有生活在社会中的人，把社会看作一个理想的大家庭 . 这种关心的根本基础是平等主义原则和维护社会公正的要求，而它们又建立在平等、自由和亲和 ( 情谊 ) 这三个基本价值上 . 民主参与 ( 平等与自由 ) 和博爱主义 ( 平等与亲和 ) 是其衍生的两个价值 (Lawton,1988) 。这些价值大体上就是政治左派的观念，它们至少可以追溯到很久以前的美法革命 . 美国独立宣言即以维护平等和自由的普遍人权开卷。一切人生来平等，造物主赋予他们某些不可剥夺的权利，这就是对生活、自由和幸福的追求 . 我们认为这
些是不言而喻的真理 (Ridgeway,1948) 。坚持 " 自由、平等、亲和 " 的法国革命家对美国的信条作了补充，平等和自由之外加了一条亲和 .

儿童论

     其儿童论的论述即人生来平等，指人皆有平等权利，一般又指平等的天资和潜能 . 个人在社会的基体上发展，个人深受文化氛围、社会结构、特别是阶级的影响 . 儿童是深受社会力量和社会文化影响的 " 坯模 ", 但是，过分强调个人的可塑性削弱了个人发展的内力 . 因为儿童以及其他个人都是知识和意义的积极造就和探索者 . 儿童时期的语言和社会交往是知识创造和知识获得的关键因素 . 阐明这个观点的是 Vygotsky(1962) 和 Leont'ev(1978) 的心理理论 . 其他的心理理论还认为，心理发展、语言和社会活动全都自然地相互联系 . 此外，" 社会建构主义者 " 认为儿童的知识和意义从内部建构，来自于他们与社会的交往和 " 意义议定 "(negotiation of meaning)(Pollard,1987).

社会论

     其社会论把社会看作由权力、文化、地位和财富分配等关系确定的块状结构体，它承认社会在权力、生活机会和追求幸福的自由度方面不平等 . 其理论认为，缺乏能力的人是指没有获得能争取到民主社会中公民权的知识、没有掌握能赢得劳动市场中优越地位 ( 从而得到相应报酬 ) 的技能的人 . 其社会论认为，为求对所有人的公正，社会需要改革发展，因而其社会论是能动的理论 . 该理论还涉及社会现实和社会理想的差异，并体现其社会价值，具有变革观 . 该观点把群众看作 " 睡狮 ", 认为维护公正权利的教育能将其唤醒 . 如果人们无意识对现状提出异议，那么学校和社会的 " 隐课程 " 力量决不会更改人们的经济和文化地位 (Giroux,1983).
教育目的

     其教育目标是个人于社会环境中发挥潜能 . 所以其教育目的是，个人通过教育获得能力并得到解放，从而能动地左右自己的命运，并引发或影响社会的发展和变革 . 可以指出其交融的三个目的 :

    1. 个人通过教育充分获得能力，掌握操纵生活的 " 思维工具 ", 完全地、批判性地参与民主社会 .

    2. 遵照公平的社会平等原则，对全社会大众实施教育 .

    3. 谋求社会变革的教育一一针对财富、权力和机会分配，向更为公正的社会 ( 和世界 ) 发展 ( 以 1 或 2 的方式 ).

     总之，此观念为社会倾向性观念，其认识论基础在于社会的结构，其道德基础在于社会的公正 . 因为它采纳相对观，所以它承认一切领域里选择的可行性 .

B. 大众教育，相对性可误主义

     相对性可误主义观代表着激进改革势力，注重民主和社会平等的大众教育思想 (Williams,1961). 其目的是 " 大众教育 ", 使工人阶级或其他人在民主制度下获得参与社会事务，分享现代工业社会繁荣的能力 . 从教育角度上看，其目的在于培养学生的独立批判思维能力，对于所学知识 ( 无论源于什么权威 ), 学生能自信地提出异议，不求盲从，只承认合乎理性判定的知识 . 这一目的为达到两个结果 : 不再认为所学知识绝对正确，以及不再认为 " 高层 " 文化比大众或 " 人们的 " 文化更有价值 . 这就引出实际或文化的知识与纯理论知识的区别 . 后者的价值在于其理论结构，但不能为此而抹杀前者的价值，它是人们的文化和生活背景 .

大众教育的起源

     大众教育和进步教育两股势力盘根错节 .1870 年的教育改革法案使初等教育得到普及，这是双方 ( 与严格训导派的联合 ) 的胜利 . 但是，法案提出从政治上获得能力这一大众教育目的并非人人接受 . 至 1867 年不少城市工人得到了政治权力，对此后的一些事情，有些人反倒希望节制大众的权力活动 . 用 Robert Lowe 的现代说法 : 从赋于大众权力的时刻起，对他们的教育便至关重要，…… 将国家的政府交到群众手中，就必须对群众进行教育 .(Dawson 和 Wall,1969)

     还有人用与进步教育完全不同的传统方式，开展对大众的普通教育活动 .18 世纪末的思想家 Malthus 和 Bentham 曾认为，有必要实施国家大众教育，从而改变穷人的愚昧状况和生存条件 (Dawson 和 Wall,1969).

    " 日常科学 " 这个维多利亚时期的早期活动，把科学教育与人们的日常生活或经验结合起来 .Henry Moseley 是 " 改革带头人 ", 他的目的与大众教育观非常相同 . 他认为 " 只教儿童机械阅读而不教他们理解书中的语言，他们便不能获得能力 ". 当考虑课程的适宜性内容时，他认为

     如果把算术看作人们的逻辑，看作与发展工人阶级孩子智力有关,它就是课程的主要部分。但是没有一种世俗的教育，能够更有效地提高劳动者的素质，而不仅提高对于幸福和未来职业有用的科学原理知识 . 如果儿童能受到这样的培养，他便会拥有能与未来物质环境作斗争的无价资源，他就有能力避免成为卑微的简单劳动者 .( Layton ,1973)

     使劳动人民进一步获取驾驭生活和物质环境的能力，这种教育观代表大众教育观念的早期思想 .  虽然当初 Moseley 卓有成效地对在校学生从事科学实验的活动设备和材料给予投资保证，但是，科学并没有成为传统初等学校的基本课程 . 而 " 实物课 " 相当普遍，教师展示一个实物 ( 如一块煤 ) 或实物的表示品 ( 如画着一匹马的图片 ), 然后诱导学生对它描述，作出定义或给出性质 (Layton,1973). 这与 " 日常科学 " 和大众教育课程相距甚远 . Williams 指出了大众教育者的另一批人，他们来自工人阶级中的一个群体 . 这些人因开展成人教育而产生了一定影响，其做法要点为 : 学生选择问题、建立学科与现代实际生活的关系、同等地对待通常讨论与专家指导的作用 (Williams,1961).

    Dewey 是 20 世纪早期大众教育观的倡导者 . 他持有三个信念即三个彼此相关的大众观念 . 其一，极端的实用主义一一一切知识皆为尝试和可误的观点 . 在这一点上 ,Dewey 远远地站在他的时代之前，因为在他所处的时代中 " 知识完美无缺 " 为正统观念 . 其二 ,Dewey 信仰民主教育，特别是批判的重要性 .

     自反思维是对任何信条的积极、慎重和持久的检验，或者说是知识的支柱形式，当从赞同它的理由和它趋向的进一步结果上看时。   （ Stenhouse,1975 ）

     其三 ,Dewey 认为必须填平儿童兴趣与经验之间以及不同学科课程之间的鸿沟 . 儿童的经验和文化应成为学校学习的基础 .

     让儿童从他熟悉的实际环境 ( 很难超过一个平方英里左右 ) 走向广阔世界，真应该这样，甚至走向太阳系边缘 . 在他那一小片记忆和传统上，展示一切民族的悠悠漫长历史 .(Golby 、 Green Wald 、 West,1977)Dewey 认为，教育应从儿童的兴趣和文化开始，在此基础上向儿童需要的学科课程上发展 .Dewey 是大众教育目的的倡导者 . 虽然他是进步教育势力的主要人物，但他同时又是一个对于进步教育的过于浪漫思想的批判者 (Silberman,1973), 他深深地信奉大众教育观的价值 .

     英国管辖的后殖民地国家也有注重社会发展的突出的大众教育观念 . 坦桑尼亚的 Julius Nyerere 发起 " 自救教育 " 运动就是一个例子，自救运动的目的是 : 培养人民成为自由民主社会 ( 尽管主要为农业社会 ) 中的自由劳动者并承担公民责任 . 他们必须能够为
自己而思考，能够对影响他们的一切问题作出判断 ; 他们必须能够完全理解民主制度社会作出的决议，…… 所以提供的教育必须有利于每个公民的探研思想得到发展，以及向别人学习如何去做的能力得到发展 .(Nyerere,Iister 摘 ,1974)

    Paulo Freire 根据以下原则，提出综合的大众教育观，即一切知识是尝试性的、离不开个人的主观认识 . 世界和意识并非静止地相互对立，它们辩证地相互联系 .…… 真理的获得来自其对立面 ; 真理不是已知的，它征服自我、重塑自我 . 它既是发现又是发明 .
(Nyerere lister 摘 ,1974)

     根据 Freier 的观点，教育的目的是获得批判意识或者说 " 意识化 ", 即对现实的一个永久批判性方法，正是为了发现现实，为了戳穿蒙骗我们、并维系残暴的、剥夺人性的的组织机构的鬼话 .(Freier Dale 摘 ,1976)

     学生通过 " 问题提出 " 教育获得这种批判意识，在 " 问题提出 " 教育中，学生积极选择学习对象和问题，学生和老师是共同的探求者，学生摆脱学校课程和教育方式的约束 (Freier,1972). 这与把学生看作知识的软弱被动接受者的 " 堆积式 " 教育相对立 .Freier 发展了这一教育思想 ( 显然受到马克思主义的影响 ), 他的做法是向巴西农民传授文化知识，使农民们获得与社会形态相抗争和调控自我生活的能力 .

     世界范围中，越来越多的学者探求着大众教育课程的原理,其中包括对公认性知识和社会本质的批判反思 (Postman 和 Weingartner,1969;Giroux,1983) 、增强民主以及学生支配学校的教育形式和内容等 (Hansen 和 Jensen,1971). 英国的 williams(1961) 提出一个大众教育课程 : 使学生掌握英语和数学语言 ; 引导学生学习身边的社会文化包括通俗文化，批判性地阅读报纸、杂志、宣传和广告 : 帮助他们参与民主社会活动 ; 学习科学探究的方法，理解科学历史和科学的社会成效 . 简言之这是一个表现和创造民主大众教育文化价值的 " 大众教育 "(Williams,1961) 课程 .

     虽然许多这类计划从未得到实施，但是有人却成功地实施过具有明确大众教育目的的人文课程方案 . 该方案的教育目的是使学生理解社会状况和人的行为，理解由社会和人发引起的有争端的价值问题（ Stenhouse,1976 ）

     这个方案把处理争论和冲突 ( 争执 ) 作为提高学生批判意识的方法之一 . 教师只作一名中立仲裁者，不允许教学上有所偏重和发号施令 . 但处理种族主义问题时，有人认为种族问题上无中立态度 . 该认识产生的基础在于承认了下述审慎的信念 :  教育旨在通过削弱偏见，通过尊重各种传统，通过鼓励相互理解、理性和公正，消除种族矛盾和我们社会中的不良情感一一这个消除带来或将带来一个多种族社会 .(Stenhouse,1976)

     虽然这个方案含有大众教育成分，但却未全面提出其社会变革和政治目的 . 而另有教育人士提出过带有普遍目的的大众教育课程，如 " 城市教育 "(Hall,1974;Raynor,1974;Raynor 和 Harden,1973;Zeldin,1974).Zimmer 提出过一个原则和目的均明确的方案 :

    1. 不再有班级教学，一切问题通过课题 (Projects) 解决 .

    2. 课题在于满足工人阶级的需要，其目的在于获得自我决定能力 .

    3. 学校教学和课题的选择也应遵照自我决定原则 .

    4. 学校不应是自我生存的天地，学校应走向需要变革的社会 .

    5. 应为儿童创造自我实现的种种机会，应使儿童在学校天地中获得最大满足的愉快，应满足儿童的需要 .

    6. 儿童不能脱离社会，相反要在自己的有限天地中展现唯有的自我实现要求，要根据社会整体利益争得自我利益，要以民主方式，议定并获得自我利益 .(Lister,1974)

    Zimmer 提出，学习者的生活状况是教育计划的出发点 ; 知识获取是计划中的一部分 ; 社会变革是课程的最终目的 . 他认为课程应建立在课题基础上，比如 " 工厂的争端 " 和 " 社会福利机构 " 这类课题，以利于学生自力更生和自我发展 .

     工厂和福利机构等课题有可能作为进行对比和仿效并认识其作用，而不是把数学当作脱离日常生活应用的技能来学习 . 人们应该学会分析数学的外在价值是如何演变为数学符号、规则和过程的 . 反之，人们应能够认清位于数学的形式符号之后的事物的本质和价值 . 人们需要这样做，特别在与技术过程和数学活动有关的情况下 . 更需如此，这些过程和活动给人一种客观理性的印象，而置于这些之后的利益则是隐藏起来的 .(Lister,1974)

     因此 Zimmer 深邃地看出，当追求大众教育目的时最桀骜不驯的学科一一数学如何充分地发挥了自己的作用 . 人们开发大众教育课程的活动一直持续至今 .Jones(1989) 提出的教育宪章充分有力地陈述了大众教育的观点 . 总的来说 ,Williams(1961) 认为，在现代英国 ( 或西方 ) 大众教育方针成功地保证了把作为权利的教育扩大到所有人，大众教育群体与严格训导及其他群体的权宜联盟，使得教育扩大的目的能够实现，最著名的是 1870 年和 1944 年的教育扩大行动 . 针对广泛自由的教育，" 为全体人的教育 " 这一大众教育目的算是达到了 .

     然而，大众教育派尚未有效地改变学校教育的内容和施行方式，从而不能全面体现其目的 . 即使前面提到的那个最成功的人文课程方案也只是一个短期的实验 . 就是说，英国未曾实现过教育机会的平等，某些社会群体一一妇女、少数民族、工人阶级等，他们之中的学生与男性白人和中产阶级学生相比，从生活方面、从教育系统对其良好服务方面，他们获得的机会较少 (Meighan,1986).

C. 数学教育的大众教育派

     近来由于可误主义和社会建构数学哲学的出现,专门的数学教育大众教育派也相应出现 .1963 年至 1964 年 ,Lakatos 的大量文章首次在杂志上发表，标志着大众教育发展阶段的一个里程碑 . 此后，数学可误哲学得到理性补充并逐步扩大影响 . 直到此时关于数学的完全大众教育观念才有了树立的基础 . 然而从外部来看，对数学 ( 科学 ) 可误哲学的提出者 (Lakatos,1976;kuhn,1970) 和阐述者 (Hersh,1979;Tymoczko,1985 等 ), 其教育意义已经明确 .

     数学可误观在教育中的早期明确阐述当属数学教师协会，虽然其阐述带有相当主观的味道 . 数学为人造就，就是说数学完全具有可误性和不确定性 . 数学唯存在于人的思想中，数学从造就人的思想那里得到其性质 . 由于数学为人造就并唯存在于人的大脑，因此学习数学的人之大脑造就或再造就数学是必然的 . 在这个意义上，学习数学的人正是造就数学的人 .(Wheeler,1967)

     最近以来，数学是置于文化中并受文化局限的社会结构，这观点赢得了大众教育派的承认 .D'Ambrosio(1985) 把这个观点应用到非形式数学实践上，将之称为 " 民族数学 ", 表现了日常数学的运用和根源 .

     因此，用文化产品来表达数学，它的发展是各种活动的结果 .…… 计数 …… 定位 …… 测量 …… 设计 …… 游戏 …… 解释 …… 作为文化知识的数学，来自于持续地、有意义地从事这六种广泛活动的人类 . (Bishop,1988)

     这种置于文化的观点也可用于形式数学或理论数学以及应用数学，这些构成了 " 数学的社会建制 "(Abraham 和 Bibby,1988). 人们已明确承认数学知识本身具有社会结构 (Restivo,1988;Abraham 和 Bibby,1989).

     大众教育不仅探讨了数学的本质，还探讨了数学教育的本质以及数学教育与社会的关系，这些探讨首先涉及数学教育的目的 . 向每个公民提供理解数学作用 ( 社会中 ) 的工具，对于个人以及全社会皆具有重大的民主意义 . 谁得不到这把工具谁就是社会进程中的 " 受难者 ", 数学是这个进程的一股潮流 . 所以，数学教育的目的应该使学生能够认识、理解、判断、运用数学，并能经常在社会中运用数学，特别要在对学生的个人、社会及职业生活有实际意义的背景中运用数学 .(Niss,1983)

     为使学习者获得能力，为使他们比较自主地驾驭自己的生活 (Frankenstein 和 Powe11,1988), 数学教学应当鼓励学生学习自主并学会选择学习中的问题 .

     这样的课程其价值不仅在于，使学生在两个方面一一从情境到提出问题和从提出问题到解决一一得到实际发展，而在于其设计展现了人们在学科 ( 数学 ) 历史中依靠自已的力量，为取得发展所克服的困难 .(Brown,1984)

     数学教育应包括单个问题的产生过程和一类数学问题的产生过程，…… 但是我们认为这是不够的 .…… 此外，我们还希望包括注重民主公民的大众教育，…… 即不仅具备产生自我数学问题的技能，而且能够理解一些深入的数学问题如何产生，以及其重要结果何以对民主政治和公民意识具有持久意义 .(Abraham 和 Bibby,1988)

     因此数学教育应引导学习者发展个人参与和社会参与 (Mellin-Olsen,1987) 意识 . 这里包括批判性思维和数学 " 意识化 ", 即一个关键过程，此过程把数学和社会的关系 ( 尤其是数学的社会建制 ) 与大中学生的个人发展情况联系起来 . 此过程包括学习者的不同学习阶段 : 首先从事一些有组织的数学形式活动 . 其次将数学问题目标化，即确定问题与个人间的距离，以便清楚地了解学习目标 . 而后从普遍的价值意义上，针对该问题研究的目的和结果作出批判性反思 .(Abraham 和 Bibby,1988)

     然而，矛盾和冲突会因下面情况而出现 : 政治性教育 . 一种非理想的情况 . 我们不希望把孩子看作实际上有区别、甚至有利益冲突的人，我们希望教育是合作、协调的活动，我们希望课堂上没有外面世界的混浊空气 . 但是真的面对冲突时，我们也得去对付 . 作为教育者的我们，多数情况下身处进退维谷 ( 如竞争与合作，观念 x 与观念 y), 我们只能面对而不能无视这些问题 .(Mellin--Olsen,1987) 大众教育数学课程的目的在于为谋求社会高度公正而促进社会变革 (Damerow 等 ,1986).

     教育者与学生一起，他们能够以有效的方式克服数学教育方法上和学生成绩评定上的种族主义、性别主义以及等级的影响 . 为从结构上转变消极的教育和社会环境 ( 当转变对话的可能性存在时 ), 这些努力是必要的 .(Frankenstein 和 Powe11,1988)

     虽然在数学教育的五个学派中，大众教育派是最新的学派，但它却赢得越来越多数学教育者的赞赏 . 除以上所见的观点外还可引证一些持此观点的英国作者如 Burton,1986; Ernest,1986;Evans,1988; Irvine,Miles,1979;Joseph,1987; Lerman,1988; Maxwell,1984;Noss 等, 1990)

     由于大众教育的目的属新形成并带有争议，因此很少有人试验这种数学课程 . 或许 " 社会数学设计 "(Rogerson,1986) 和 " 基本数学设计 -- 为重新接受教育的成人 "(Frankenstein,1989) 是我们所见到的两个最著名的设计 .Abraham 和 Bibby(1988) 以及 Mellin-Olsen(1987) 还讨论过其他几个设计的例子 .

D. 数学教育的大众教育观数学教育的目的

     大众教育观的目的在于通过批判性数学思维，增强大众的民主意识和公民义务责任感 . 就是说以社会背景的数学问题为前提 . 把个人培养成为自信的问题提出和解决者，从而获得对数学社会建制的理解 . 从更深层次上看，大众教育还包括帮助学习者去从事存在于他们自己的社会和政治背景中的数学活动 (Mellin-Olsen,1987) 这些目的出自一个希望，即希望数学教育为促进对全社会大众的社会公正作出贡献 .

     中小学数学知识论数学是社会的建构，中小学数学知识必须反映它的本质一 - 尝试性，它的发展来自人的创造和决断，它与其他领域的认识、文化和社会生活相关 . 中小学数学不应是外在知识，让学生感到陌生，而要处于学生的文化和生活现实中，吸引学生为了自己而占有它并使他们能够这样做 . 从这个意义上，数学知识提供得到认识及思考工具的方法 (Mellin-Olsen,1987). 它使人们理解和驾驭知识和文化的抽象结构以及社会和政治现实的数学建制 .

     数学学习该观念的数学学习论即意义是社会的建构，起源于 Vygotsky(1962) 的社会发生论和 Leont'ev (1978) 等人的活动论 . 根据这个理论，在与社会交往、切磋意义并参与 " 活动 " 中，儿童的知识和意义被内在化为 " 社会的建构 "Bishop(1985) 、 Cobb(1986) 和 Mellin-Olsen(1987) 等大众教育观点赞同者都曾明确提出这种认识 . 这是属于社会建构主义的认识 .

     该理论认为，儿童应当积极从事数学活动，提出并解决问题，谈论处于自己生活和环境中 ( 民族数学 ) 以及处于广阔社会环境中的数学 . 学生 ( 及教师 ) 要清晰表达自己的概念和假说，要正视他人的观点，要接受挑战，这样有利于批判性思维的发展 . 于是矛盾将会产生，这是新概念生长和立足所必要的 .

数学能力论

     由于受社会环境对个人发展、尤其对 " 能力 " 表现起主要作用影响，因此该观点认为数学能力主要是社会的建构 . 由此该观点认为，人们出生时的性格和能力与历经数年环境变化而社会化后的性格和能力相比，前者远比后者显出更多的相同性 . 所以，" 能力 " 是根据学生的经验或根据别人的看法和 " 标定 " 方式赋予学生的东西 (Krutetskii,1976:Meighan,1986;Ruthven,1987).
数学教学论

     其教学论为下列内容 :
    
    (1) 名副其实的讨论一一学生与学生以及学生与教师的讨论，因为学习是意义的社会建构 ;

    (2) 小组合作学习、课题研究和问题解决，培养自信心和参与意识并掌握知识 ;

    (3) 自主的课题、探索、问题提出和研究学习，通过个人活动培养创造性、自导性和参与性 ;

    (4) 学生对课堂内容、教育手段和评价方式提出异议，培养批判性思维能力 ;

    (5) 使用与社会相关的素材、课题和论题，包括种族、性别与数学，培养社会问题参与能力 .

     此外，允许因班级学生能力不平衡而需的民主和开放式教学，但要清楚认识不平衡状况 . 教师起中立仲裁的作用或在讨论时作一名挑剔毛病者 . 教师对争论性问题应坦诚发表个人观点 . 由于学校所处的现实社会环境，因此帮助学生充分准备校外考试仍是教师的主要责任 ; 总的来说，应当认识争论在教学中起主要作用，不能对之视而不见数学教育资源论认其理论建立在学习是主动、变化、社会性参与以及自控的认识基础上 . 所以其资源论体现以下三个主要方面 :

    (1) 拥有广泛多样的实际材料，以利于变化、主动的教学方法 .

    (2) 拥有真实材料，如报纸、政府统计数据等，以便社会联系或社会参与性地学习和研究 ;

    (3) 有利于学生自主支配并便于使用的学习材料 .

     数学学习评价论其评价论侧重找到测定能力倾向和成绩进步程度的方式，不对学生作出能力定位或既定一个数学等级模式 . 一般地说，其理论认为评价的重要性在于公正评价能力，而不管评价对象的性别、种族、阶级或其他社会变量 . 重要性还在于减少竞争 . 因而可以多种形式进行评价，如成绩登记和备忘，课外课题和课外考试 . 学校公开作业评价的任务和评价结果提倡小学生讨论、思索和必要的协商 ( 作为成绩登记 ), 提倡大一点的学生选择研究课题和课题作业 . 评价作业的内容，如课题作业和考试问题，应包括存在于社会中的数学问题，要批判性地思考数学的社会作用 .

     其理论也承认数学证书的社会重要性，所以认为数学学习必须充分作好考试和统一评价的准备 . 尽管获得数学证书应是 " 基本社会原理 " 的副产品，但认为教师对学生的主要责任在于此 (Mellin-Olsen1987). 要承认价值冲突的可能性 .

    [1] 数学教育的社会差异

     论社会差异论反映大众数学的主导价值和认识 . 因而认为数学课程应反映多种数学历史、文化和地域以及数学的根源 ; 应反映数学在非理论环境中的作用 ( 种族数学 ) 以及数学在现代社会生活及政治组织各个方面的体现 ( 数学的社会建制 ). 数学课程应适合妇女、少数民族和其他社会群体的 " 口味 ", 课程应体现反性别主义和反种族主义的行为，课程应增强整体的数学教育和社会观，不应无视劣势群体 . 必须对课程进行审查，如对社会各个方面直接从事、参与或开发课程的限制性语言或陈旧狭隘的教育思想等必须删除，以便真正除掉对所有学生的障碍 . 当社会不利因素再现时，必要公开讨论数学的作用 . 总的来说，该观点认识到接收并赞许社会差异性是数学本质的核心内容 .

E. 对大众教育观念的批判性评价力度

     首先，对大众教育观念的核心而言，其数学教育目的很大程度地体现了社会公正进而体现了民主的原则 . 它是唯一具有增强学习者自我实现这一明确目的的思想观念，即把学生培养成自主的人和社会的成员 . 它还是唯一全面承诺社会公正义务的思想观念，提出 " 为大众的数学 ", 特别提出对处在社会底层的社会群体有意义的 " 大众使用的数学 ", 表达了大众教育的社会和政治意义 (Volmink,1990). 它提倡为 " 技术社会中公民的义务 " 而面向大众的数学教学，即 " 社会主义数学教育 "(Swetz,1978). 因此，大众数学教育是建立在民主社会主义原则和价值基础上的数学教育 .

     其次，大众数学教育代表现代思想的浪潮，是唯一合乎可误主义和社会建构主义的数学哲学 . 其数学课程反映数学的社会建制本质，充分体现了包括社会在内的全面教育意义 . 由于认识到不同种族、国家和妇女对数学创造所发挥的作用，从而破除了欧洲白种男性独拥数学的迷信 . 而且，视历史和人文背景是数学的根本中心，从而减轻了人们对数学的生疏和神秘感，造就成一个较多人性的，受人欢迎的数学课程 . 数学的可误性摧毁了 " 学生的数学概念要么正确要么错误 " 这种认识的中坚支柱，这个错误的支柱是造成消极态度和数学恐惧的重要因素 .

     总之，就其道德和认识基础以及由此转换的教育目的而言，大众教育观颇有力度 . 缺点

     大众教育观及其数学目的存在一些缺点，除观念本身存在着内在矛盾外，主要还有它的执行问题 . 引起数学教育上的争论

     首先是对大众教育观念和其教育意义的争论 . 这是 ICMI （国际数学委员会）会议讨论 90 年代中小学数学的社会作用时争论的问题，对此存在两种观点及可能相反的结果 .

     选择 1. 数学呈中性，数学教学最好摆脱有社会争端的问题 .

     选择 2. 因为数学以非常明显的方式构成了技术的基础，也构成了决定技术运用方针的基础，所以数学教学应有意与这些问题相联系 .

     结果 1. 这样做很困难 . 实际上很多 ( 即使不是大多数 ) 数学教师没有把触及社会或争端问题作为自己教学的份内之事 .

     结果 2. 政府的反应似乎相反 . 某些国家已试图考虑对物理教学的目的加上 " 社会责任 " 一项 .(Howson 和 Wilson,1986)

     大众教育的目的及其根本价值表现出数学教育的 " 政治化 "(Noddings,1987). 大众教育的目的与其他四个观念的数学绝对主义哲学有分歧，因为从那些观点来看，由于绝对主义哲学认为学科呈中性并超价值，因此学科本身就不会存在问题 . 从纯粹的认识论和教育原理出发，其他四个观念否定了数学教学的政治和社会价值 . 而有意涉及社会及政治等争执性问题的大众教育方针，承担着所谓煽风点火、搅乱数学教育的风险 .

    [2] 学生家长、教育管理人员或政治家一旦产生这种认识，或者这种认识一旦非常普遍，数学课程就容易受到干预 .

     大众教育数学课程的提出者不可忽视这些本应考虑的问题，并要估计到课程执行时易遭抵制、反对的实际情况 . 为减少这些风险我们提出两个策略 : 一是提供一个纯粹选用的课程 (Abraham 和 Bibby,1988); 二是提供一个学校主干教育以外成人再教育所用的课程 (Frankenstein,1989). 这些对策因侧面采纳大众教育方针，就可以避免对峙局面 .

     我们对这些先摆出来的问题产生了以下疑问 : 政治体系的确希望用大众教育课程去教育公民，使公民能对统计数字、数学假设和模式等这些政治决断的依据提出批判性的质疑吗 ?

引起课堂矛盾

     第二个问题也涉及矛盾和争端，主要表现在课堂内 . 课程中引入社会和政治争端问题，鼓励学生对学科、教学法和评价提出异议，这种课程设计会给课堂带来矛盾和分歧 . 所说的教学方式与学生以往或他处习惯的教学模式根本相异，其结果除可能出现前面的问题外，还可能出现干扰或搅乱学习者的问题 . 矛盾、争论和据理争辩不仅在许多教育实践中失败，而且与学习者的文化背景有距离 . 所以大众教育方针会在这些方面引起学习者的不安和恐惧心理 . 这就产生了一个问题，已经预料到争论式课程教学对学生会产生如此后果，还能说它是道德公正的吗 ?

     身为导师或顾问的英国教师有作人父母的责任，他们以人格力量从事人性、社会和道德教育 . 例如，教师若与有情感波动的儿童稳定地相处，多数儿童的情感就会安定 . 某些儿童的安定感是否会由于大众教育方针而受到干扰，从而出现与此方针的建设性结果相反的危害性结局 ? 这是大众教育数学课程的一个问题 . 问题的回答实际上取决于事态关系和课程的具体执行情况 . 然而，或许只有在后期教育阶段，才能对学生全面实行大众教育的数学课程，低幼年龄阶段应避免矛盾和争论 . 但从另一方面看，以争论方式回答数学问题是低幼学生的非常有效的学习策略 (Cobb,1987;Yackel,1987).

    [3] 课堂上的宣传鼓动

     第三，允许社会、文化和政治内容进入数学课程，易使数学课程受到商业和政治团体的影响或被它们公开操纵 . 从大众观念本身来说，其数学教育的目的在于以公正唤起民主 . 然而持其他观念者并不这样评价它的目的，而是倡导其他价值 . 因此看来，比大众教育势力更强的学派，一旦有机会将社会和政治内容与数学课程相结合，他们即会把课程目的转到自己的方向上去 .

     可举一个科学上的例子 . 美国基督教原教旨主义派就曾竭力试图用其 " 科学创 ?quot; 论取代或改良学校的进化论教学，虽然他们在学术上没有站住脚 . 英国的某些商业团体 ( 如建筑协会 ) 用提供商业观念课程的手段，大肆为自己赚取利益，他们出版的课本教材为此受到批评 ( 国家消费协会 ,1986). 因此，政治和商业利益群体希望在政治权力和财力资源上压倒大众教育利益群体，他们对学校课程造成了直接的压力 . 由于政治和商业求利者为了自己的利益而开发课程，因此大众教育数学课程受到侵蚀的危险依然存在 .

    [4] 矛盾

     第四，大众教育数学课程自身存在着矛盾或者引发矛盾 . 我们已经讨论过其中的某些矛盾，如稳定与冲突、自信与恐惧、批判性思维与知识灌输等 . 但一些主要矛盾尚未涉及 .

     个人获得能力与通过考试   虽然前面指出过这个矛盾，但这里我们还得进一步认真地对待它 S- 基理性与 L- 基理性教育的区别 (Mellin-Olsen,1987) 以及关系判断与手段判断的不同 (Mellin-Olsen,1981) 都类似于这个矛盾 . 看起来某些学生、家长以及教育系统内外的人都反对与校外评价内容没有直接关系的例子、过程和策略 . 因此，大众教育者有责任说明矛盾双方的目的 .

     种族数学与抽象数学   学生经验世界中数学的位置与理论数学教学的需要之间存在着矛盾，抽象数学是为提供强有力的思维工具 . 同样，社会中与应用相关的数学与结构、定理的纯理论数学之间亦存在着矛盾，这两类矛盾相同 . 一些学者曾指出很带局限性的 " 格笼式 " 课程的危害性 (Dewey,1966;Layton,1973;Abraham 和 Bibby,1988;Jones,1989).Gramsci(1971) 曾论述道，贫乏的文化经验限制了工人阶级子弟的抽象及批判性思维的发展 . 问题在于，如何把处于社会或具体情况下的数学转化成理论内容而不失其意义，或转化成一种新的分解论述的形式 . 然而 ,Johnson(1989) 的观察认为，负面结果是普遍的，即使在一个班级里有计划地施行从实际数学向形式数学的转变，同样会产生负面结果 .

     这些矛盾不容回避，任何大众教育的课程都必须承认并论述这些矛盾 .